Twee variabelen, ontmoeting

Het tweede voorbeeld maakt duidelijk de wiskunde voor veel wetenschappen een gereedschapkist is. Technieken uit de wiskunde worden in, in dit geval. een natuurkundige context gebruikt.
Hieronder nog een keer de gevens van Lieke en Andy.

Lieke en Andy werken bij een besteldienst en moeten regelmatig vanuit Utrecht door heel Nederland pakkjes afleveren. Op een morgen vertrekt Lieke om 8:00 uur met een bijna volle vrachtauto (maximum snelheid 80 km/h) naar Gronigen. Haastige spoed is zelden goed dus met de toegestane snelheid rijdt ze over de snelweg. Om kwart over acht wordt nog een spoedbestelling voor Groningen in Utrecht afgeleverd. Na even denken en zijn motorpak weer aantrekken stapt Andy om vijf voor half negen op de motor en gaat met 120 km/h onderweg naar Groningen. Onderweg haalt hij Lieke in en bij een tankstation krijgt Lieke de spoedbestelling. Hoever van Utrecht en hoe laat wordt het pakketje overgedragen?

Hoewel de wiskunde in dit geval met "x" en " y" zou werken, is het hier makkelijker om aan te sluiten bij de notatie in de natuurkunde voor problemen van dit type, al is het niet verboden om met " x" en " y" te werken.

Voor de afgelegde weg geldt in de natuurkunde de formule:

s\ =\ v\times t

Verg. 1

Voorbeeld 2, Ontmoeting

Het nadeel van deze formule is dat er meerdere snelheden en tijden in de vergelijkingen voorkomen. Voor de afgelegde weg van Lieke^{[Noot 1]} geldt:

s_{L}\ =\ v_{L}\ \times t_{L}

Verg.2

Natuurkunde

Voor Andy geldt een soortgelijke formule.

s_{A}\ =\ v_{A}\ \times t_{A}

Verg. 3

Het lijkt nu alsof er zes verschillende grootheden genoteerd staan, maar de gegevens laten meer zien dan alleen de basisformule uit de natuurkunde. Lieke en Andy moeten elkaar tegenkomen, dus moeten ze op de zelfde plek zijn. De afgelegde afstanden moeten dus gelijk zijn. Bij de afstanden hoeft dus geen subscript om aan te geven over wie zijn afstand het gaat: $s_{L}\ =\ s_{A}\ =\ s$ . Elkaar tegenkomen betekent, naast op dezelfde plek zijn, ook dat je er op dezelfde tijd bent. Alleen de tijd in de formles is de tijd dat Lieke en Andy onderweg zijn. Andy vertrekt echter 25 minuten later.

Hier moet je een keuze maken: welke eenheid gebruik je voor de tijd. In onderstaande uitwerking is het uur als eenheid gebruikt. 25 minuten is dan vijf twaalfde uur. Andy is die tijd minder onderweg, dus als je de tijd dat Lieke onderweg is als "t" noteert, dan is de tijd dat Andy onderweg is "t - 5/12". Het is nu ook niet meer nodig om de tijd voor een van de twee aan te geven. De "t" staat voor de tijd dat Lieke onderweg is. De formules 2 en 3 gaan er nu als volgt uitzien.

s\ =\ v_{L}\ \times t

Verg. 4

en

s\ =\ v_{A}\ \times \left(t\ -\ {\frac {5}{12}}\right)

Verg. 5

Vergelijking 4 is nu, door v_L naar de andere kant te brengen, te schrijven als

{\frac {s}{v_{L}}}\ =\ t

Verg. 6

Doen als of

Vergelijking 6 nu invullen in vergelijking 5, de snelheden door getallen vervangen en de haken wegwerken geeft:

s\ =\ v_{A}\ \times \left({\frac {s}{v_{L}}}\ -\ {\frac {5}{12}}\right)\ =\ 120\ \times \left({\frac {s}{80}}\ -\ {\frac {5}{12}}\right)\ =\ 1{,}5s\ -\ 50

Verg. 7

Alle vormen met "s" aan de linker kant verzamelen, en vervolgens de factor voor "s" weer naar rechts levert:

s\ =\ 1{,}5s\ -\ 50\ \Longrightarrow \ s\ -1{,}5s\ =\ -50\ \Longrightarrow \ -0{,}5s\ =\ -50\ \Longrightarrow \ s\ =\ {\frac {-50}{-0{,}5}}\ =\ 100

Verg. 8

Invullen van de uitkomst voor de afgelegde weg in vergelijking 4 maakt de berekenen van de tijd mogelijk:

100\ =\ 80\ \times t\ \Longrightarrow \ {\frac {100}{80}}\ =\ t\ \Longrightarrow \ t\ =\ 1{\frac {1}{4}}

Verg. 9

Als Lieke 1 uur en een kwartier onderweg is, is het inmiddels 9:15 uur, en is ze 100 km van Utrecht waar ze het paje in ontvangst kan nemen.

Noten

↑ Het subscript geeft nu aan over welke snelheid, tijd of afgelegde weg het gaat. Net als bij de balpennen en potloden kan volstaan worden met de eerste letter van de namen, daarin is voldoende verschil.

[1] Het subscript geeft nu aan over welke snelheid, tijd of afgelegde weg het gaat. Net als bij de balpennen en potloden kan volstaan worden met de eerste letter van de namen, daarin is voldoende verschil.

[Noot 1]