Wiskunde voor MBO techniek/Isoleren/Optellen en aftrekken

Optellen en aftrekken

Net als bij gewoon rekenen gelden er voor optellen en aftrekken ongeveer dezelfde regels. Ook voor vermenigvuldigen en delen zijn de regels vergelijkbaar. Dit hoofdstuk gaat over de regels voor optellen en aftrekken.

Voorbeeld

Als je niet tussendoor naar de bank of geldautomaat gaat zit er op een dag 's avonds meestal minder geld in je portemonnee dan 's morgens. Je moet ergens van leven. De hele dag bijhouden wat je uitgeeft is doodsaai, maar 's avonds kan het handig zijn even te kijken hoe duur de dag was. Als je weet met hoeveel geld je de dag begonnen bent en 's avonds telt hoeveel je over hebt geldt:

\mathrm {(kosten\ van\ de\ dag)\ =\ (geld\ 's\ ochtends\ in\ de\ knip)\ -\ (geld\ 's\ avonds\ in\ de\ knip)}

Verg. 1

Hoe duur was de dag

Ben je een bonnetjes fetisjist en was je vanochtend vergeten je portemonnee na te tellen, dan kun je het bedrag waarmee je begonnen bent uitrekenen met behulp van:

\mathrm {(geld\ 's\ ochtends\ in\ de\ knip)\ =\ (totaal\ van\ de\ bonnetjes)\ +\ (geld\ 's\ avonds\ in\ de\ knip)}

Verg. 2

Startbedrag

Voorkom kramp in je vingers

De vergelijkingen 1 en 2 vertellen precies hoe je de berekening moet uitvoeren, ze hebben alleen het nadeel dat als je ze over moet schrijven, je wel kramp in je vingers krijgt. Net als bij het aangeven van snelheid van auto's in kilometer per uur is het handig om een afkorting te gebruiken. Voor de snelheid is dat km/h. Deze afkorting wordt bijna wereldwijd gebruikt, maar in het Nederlands niet uitgesproken als Ka Em per Ha. Vaak wordt voor het "per uur" (letterlijk) stilzwijgend gedaan, maar niemand zegt "De auto reed wel tachtig Ka Em". Voor het schrijven is het dus handig afkortingen te gebruiken, af we het ook zo zeggen hangt van de situatie af.

Voor het voorbeeld zouden we kunnen afspreken:

Voor het geld dat 's morgens in je portemonnee zit gebruiken we de "o" van ochtend.
Voor het geld dat 's avonds in je portemonnee zit gebruiken we de "a" van avond.
Voor het geld dat je in de loop van de dag hebt uitgegeven gebruiken we de "d" van dag. Die letter kunnen we ook voor de som van de bonnetjes gebruiken want dat is eigenlijk hetzelfde als het totaal wat je die dag hebt uitgegeven.

De twee formules worden nu ineens een stuk simpeler om te noteren, maar betekenen nog steeds hetzelfde. Vergelijking 1 wordt:

\mathrm {d\ =\ a\ -\ o}

Verg. 3

Vergelijking 2 wordt:

\mathrm {o\ =\ d\ +\ a}

Verg. 4

De formule geeft niet het antwoord op de vraag

Het volgende voorbeeld kun je ook makkelijk uit je hoofd uitrekenen. Je kunt daardoor goed controleren dat de methode echt werkt. Voor het bewerkingen van vergelijkingen die in de techniek of een laboratorium gebruikt worden, of wetenschappelijke formules, is dat vaak lastiger te controleren.

Een andere situatie ontstaat als je wel het bedrag van 's morgens weet (€ 14.55) en hoeveel je hebt uitgegeven (€ 7.30), maar niet 's avonds de inhoud van je portemonnee hebt nageteld. Geen van de vergelijkingen levert het gevraagde antwoord.

Aan de andere kant is het uiteraard wel zo dat het nog steeds om dezelfde drie dingen gaat: geld 's morgens, geld 's avonds en kosten van de dag. Op een of andere manier zal vergelijking 4 wel de informatie bevatten die we nodig hebben:

\mathrm {o\ =\ d\ +\ a}

Verg. 4

Hoeveel heb je over?

Invullen van de getallen die we wel weten geeft nu:

\mathrm {14{,}55\ =\ 7{,}30\ +\ a}

Verg. 5

Dit maakt nog een keer duidelijk dat het sommetje niet uit te rekenen is op de manier zoals het nu genoteerd staat. Eigenlijk ben je op zoek naar een vergelijking in de vorm van:

\mathrm {a=\ ??}

Verg. 6

of

\mathrm {??=\ a}

Verg. 7

Om dat voor elkaar te krijgen moet uit vergelijking 5 de "a" alleen aan één kant van het gelijkteken komen te staan. Wiskundig luidt deze opdracht: Isoleer de onbekende "a" in vergelijking 5.

Als je de vergelijkingen 5 en 7 naast elkaar legt zie je dat wat de "a" (het geld dat 's avonds nog in je portemonnee zit) betreft de vorm klopt. Alleen is er in vergelijking 5 nog een vervelende 7.30 die ook aan de rechterkant van het gelijkteken staat. Eigenlijk zou je die daar weg willen hebben. Nu komt de centrale gedachte van het "rekenen met letters", de algebra, aan bod:

Het gelijkteken geeft aan dat wat aan de linkerkant ervan staat evenveel waard is als wat aan de rechter kant ervan staat.

Het is niet hetzelfde, maar het is evenveel waard. Als jij twee losse euro-munten hebt en je maatje een muntstuk van 2 euro, is dat niet hetzelfde, maar het is wel hetzelfde waard.

Als je links en rechts van het gelijkteken dezelfde bewerking uitvoert blijft de gelijkheid waar.

Er blijft gelden dat de waarde van wat links van het gelijkteken staat even groot is als de waarde rechts ervan. Dat wil niet zeggen dat links en rechts hetzelfde staat, alleen de waarde is gelijk. Ook wil het niet zeggen dat de waarde voor en na de bewerking hetzelfde is. Als jullie alletwee de helft uitgeven, hou jij 1 euromunt over en je maatje krijgt wisselgeld (2 munten van vijftig cent). De waarde voor en na de bewerking (geef de helft uit) is niet gelijk. Wat je in beide gevallen overhoud is niet hetzelfde (jij 1 euro-munt of de ander 2 50 cent-munten). Maar nog steeds is waar dat jullie evenveel waarde in je portemonnee hebt.

In vergelijking 5 kun je dat vervelende getal (7.30) aan de rechterkant "kwijtraken" door er 7.30 vanaf te trekken. Maar ... vergelijking 5 is een gelijkheid die alleen waar blijft als je links en rechts van het gelijkteken hetzelfde doet. Als je aan de rechter kant van het gelijkteken 7.30 aftrekt moet dat aan de linkerkant ook.

\mathrm {14{,}55\ -\ 7{,}30\ =\ 7{,}30\ -\ 7{,}30\ +\ a}

Verg. 8

Aan de rechter kant geldt nu: 7.30 -7.30 = 0. Nul ergens bijtellen betekent dat je eigenlijk niets doet, dus de nul kun je net zo goed weglaten. Ook het plus-teken voor de "a" (het geld dat 's avonds nog in je portemonnee zit) hoeft niet meer genoteerd te worden.

\mathrm {14{,}55\ -\ 7{,}30\ =\ a}

Verg. 9

De laatste stap is de berekening die aan de linkerkant van het gelijkteken ontstaan is uitvoeren:

\mathrm {7{,}25\ =\ a}

Verg. 10

De conclusie is dat als je 's morgens met € 14.55 begint en in de loop van de dag € 7.30 uitgeeft je 's avonds € 7.25 overhebt. In bovenstaande berekening heb je meteen de getallen ingevuld. Je kunt ook de symbolen laten staan en zien wat er dan gebeurt

\mathrm {o\ =\ d\ +\ a}

Verg. 11

Nu worden de uitgaven van de dag (aangegeven met het symbool "d" links en rechts afgetrokken van de waarden in de vergelijking:

\mathrm {o\ -\ d\ =\ d\ -\ d\ +\ a}

Verg. 12

Rekenen is in vergelijking 12 nog niet mogelijk (je hebt geen getallen!), maar ook zonder de grootte te weten van wat er tijdens de dag is uitgegeven (aangegeven met het symbool "d") weet je wel wat het resultaat is van "d - d". Hoe groot of klein de uitgaven van een dag zijn maak niet uit. Als je de daguitgaven van de daguitgaven aftrekt is het resultaat altijd €0.00 en vergelijking 12 kan dus geschreven worden als: