Wiskunde/Gebroken (lineaire) functies

Definitie

Zoals een gebroken getal het quotiënt is van twee gehele getallen, zo is een gebroken functies het quotiënt van twee veeltermen. De noemer is dus voor een of meer waarden van $x$ gelijk aan 0, en de functie is daar onbepaald. Die waarde(n) van $x$ behoren niet tot het domein van de functie. De grafiek van de functie valt daardoor in stukken uiteen.

Een hyperbool met de formule ${\begin{aligned}f(x)={\frac {1}{x}}\end{aligned}}$.

Het eenvoudigste voorbeeld van een gebroken functie is de hyperbool

$f(x)={\frac {1}{x}}$

Deze functie bestaat niet voor $x=0$, want delen door nul kan niet. Naarmate $x$ dichter bij nul komt, schiet de waarde van de functie steil omhoog voor $x>0$ en omlaag voor $x<0$. De in de grafiek nooit bereikte grenslijn $x=0$ wordt een asymptoot genoemd. Het punt $x=0$ behoort niet tot het domein van $f$. Ook $f=0$ is een asymptoot: hoe verder $x$ van 0 weg is, hoe dichter de functiewaarde bij 0 komt, maar de waarde wordt nimmer bereikt. De waarde 0 behoort niet tot het bereik van de functie.

Om aan te geven dat de waarde 0 geen geldig punt is in de functie wordt er in de wiskunde gebruik gemaakt van het begrip limiet, dat wordt aangegeven door het woordje $\lim$. De limiet houdt in dat wanneer de formule dichter bij het perforatiepunt (het punt waar de functie geen waarde heeft) komt, de aangegeven waarde geen oplossing heeft. De notatie gaat als volgt:

$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)={\frac {1}{x}}$.

Het stuk $\lim _{x\rightarrow 0}$ betekent dat de functie naar het punt $x=0$ toegaat. Het gedeelte $\lim$ geeft dan aan dat er op dat punt iets ontbreekt.

Asymptoten

Een asymptoot is een lijn waardoor een hyperbool nooit heen gaat. Er bestaan zowel horizontale als verticale asymptoten: beide asymptoten zijn door middel van een limiet te bepalen. Het achterhalen van een verticale asymptoot is hiervoor reeds behandeld: er wordt een limiet ingesteld waarbij de noemer ongelijk aan nul moet zijn. De x waarbij de noemer van de functie wél gelijk is aan nul wordt de verticale asymptoot.

Horizontale asymptoten hebben een andere methode om achterhaald te worden: er wordt gebruik gemaakt van een limiet waarbij de x niet de nul, maar het positieve of negatieve oneindig. Dat ziet er als volgt uit:

$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ én $\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$

Op deze wijze wil er worden uitgedrukt dat de x het oneindig of het negatieve oneindig nadert met als doel te kijken door welke y-waarde de hyperbool niet gaat. Door te werken met deze methode is de horizontale asymptoot goed af te lezen: bij de voorbeelden hierboven kunnen we de b en de d, de vaste getallen zonder variabelen, verwaarlozen. Het maakt namelijk niet uit dat er b of d bij een zeer groot getal (x nadert het oneindig, dus x wordt steeds groter) wordt opgeteld, omdat die het getal minimaal beïnvloeden. Vervolgens worden ax en cx door x gedeeld, waardoor de horizontale asymptoot gelijk is aan ${\frac {a}{c}}$.

De asymptoten moeten in een assenstelsel worden vermeld. Dit gebeurt doorgaans met een stippellijn.

Rekenen met de limiet

Perforatiepunten

Rekenen met een limiet helpt de wiskundige met het oplossen van een formule zodanig dat er voor elk getal toch een waarde uitgerekend kan worden, hoewel dit zonder limiet niet mogelijk is. Vooral met tweedegraadsfuncties, bijvoorbeeld door middel van de product-som-methode, kan er zeer goed met een limiet gerekend worden. Zodra zowel de noemer als de teller -mits deze ontbonden moet worden- ontbonden is, kunnen de producten die zowel in de teller als in de noemer aanwezig zijn door elkaar worden gedeeld, wat leidt tot het herleiden van een breuk. Bij voorkeur wordt een gebroken functie door deze tactiek herleid tot een eerste-, tweede-, derde-, enz. graadsfunctie. De ontstane functie is dan geen hyperbool meer en kan makkelijker benaderd worden door de wiskundige regels. Een visueel voorbeeld met formules volgt hieronder.

$\lim _{x\rightarrow -5}f(x)={\frac {x^{2}+9x+20}{x+5}}\rightarrow \lim _{x\rightarrow -5}f(x)={\frac {(x+4)(x+5)}{(x+5)}}\rightarrow \lim _{x\rightarrow -5}f(x)={x+4}$

Zoals hierboven staat kan een gebroken kwadratische functie dus worden omgezet tot een lineaire functie. Maar voor de functie $f(x)$ geldt nog steeds dat er punt ontbreekt op de grafiek van $f(x)$. Dit kan worden bewezen doordat $\lim _{x\rightarrow -5}$ nog steeds voor de functie$f(x)$ staat. Om te berekenen wat de coördinaten van het perforatiepunt zijn, moet de x die onder de lim staat ingevuld worden als de x in de functie $f(x)$. Omdat het x-coördinaat in het perforatiepunt van deze grafiek dus gelijk is aan -5, wordt het y=coördinaat achterhaald door de -5 op de plaats van de x te stoppen. De uitkomst is dan $(-5,-1)$ als niet-bestaand punt in de grafiek van $f(x)$.

Asymptoten

Zoals eerder is uitgelegd, is een asymptoot een lijn die een hyperbool niet raakt. De standaardformule $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ (verticale asymptoot) $\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ (horizontale asymptoot) is voor vrijwel alle formules toepasbaar. Alleen moet er met een modulus in de functie opgelet worden bij de horizontale asymptoot: er ontstaan namelijk twee asymptoten omdat de formule binnen de absoluut strepen bij een waarde onder nul (als de limiet naar het negatieve oneindig gaat) de tegenovergestelde waarde aanneemt. Hieronder volgt een voorbeeld:

$f(x)={\frac {2x+8}{x+3}}$

1. Verticale asymptoot:

$\lim _{x\rightarrow -3}f(x)={\frac {2x+8}{x+3}}$

De verticale asymptoot bevindt zich bij $x=-3$ : op dit punt is de noemer gelijk aan nul, wat niet mogelijk is.

2. Horizontale asymptoot:

$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)={\frac {2x+8}{x+3}}$ én $\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)={\frac {2x+8}{x+3}}$

De horizontale asymptoot bevindt zich bij $y=2$ : als er bij de x een zeer groot getal ingevuld wordt, zal het verschil tussen de teller en de noemer gelijk zijn aan 2.

Nu volgt een voorbeeld met een bijzondere gebroken functie:

$f(x)={\frac {|3x+3|}{4x-1}}$

1. Verticale asymptoot

$\lim _{x\rightarrow {\frac {1}{4}}}f(x)={\frac {|3x+3|}{4x-1}}$

De verticale asymptoot bevindt zich bij $x={\frac {1}{4}}$ : op dit punt is de noemer gelijk aan nul, wat niet mogelijk is.

2. Horizontale asymptoot

$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)={\frac {|3x+3|}{4x-1}}$ én $\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)={\frac {|3x+3|}{4x-1}}$

Bij de modulus moet erop worden gelet dat de waarden tussen de absoluut strepen gelijk blijven als x naar het oneindig gaat, en omgekeerd worden als de x naar het negatieve oneindig gaat.

$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)={\frac {|3x+3|}{4x-1}}\longrightarrow \lim _{x\rightarrow \infty }f(x)={\frac {3x+3}{4x-1}}$

$\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)={\frac {|3x+3|}{4x-1}}\longrightarrow \lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)={\frac {-3x-3}{4x-1}}$

De horizontale asymptoot als de limiet naar het oneindig gaat, bevindt zich bij $y={\frac {3}{4}}$ : als er bij de x een zeer groot getal ingevuld wordt, zal het verschil tussen de teller en de noemer gelijk zijn aan 0,75.

De horizontale asymptoot als de limiet naar het negatieve oneindig gaat, bevindt zich bij $y=-{\frac {3}{4}}$ : als er bij de x een zeer groot negatief getal ingevuld wordt, zal het verschil tussen de teller en de noemer gelijk zijn aan -0,75.