Vectormeetkunde/Vergelijking van een vlak

Op deze pagina wordt eerst getoond hoe, al naar gelang de gegevens, een vectorvergelijking van een vlak kan worden opgesteld. Daarna wordt uit de vectorvergelijking een cartesische vergelijking afgeleid. Dan komt de onderlinge stand van twee vlakken aan bod en relaties tussen vlakken en vectoren

Vectorvoorstelling van een vlak

Om een vectorvoorstelling van een vlak te verkrijgen gaan we op analoge wijze te werk als bij de voorstelling van de rechte.

Een vectorvoorstelling opstellen

vlak met steunvector A en richtingsvectoren AB en AC

Een rechte van het vlak ligt vast door een steunvector en een richtingsvector. Er zijn echter veel vlakken welke die rechte bevatten. Om juist één bepaald vlak door die rechte vast te leggen is een tweede richtingsvector nodig welke niet evenwijdig is met de eerste. Het vlak is bepaald door een steunvector en twee niet evenwijdige richtingsvectoren.

In het figuur is A de steunvector en AB en AC zijn de richtingsvectoren. Nu geldt:

Punt P ligt in het vlak met steunvector A en richtingsvectoren AB en AC

$\Leftrightarrow$ Er bestaat een getal r en s zodat AP = r AB + s AC

$\Leftrightarrow$ Er bestaat een getal r en s zodat P - A = r AB + s AC

$\Leftrightarrow$ Er bestaat een getal r zodat P = A + r AB + s AC

P = A + r AB + s AC is de vectorvoorstelling van het vlak. Hierin zijn r en s een rëele parameters. Met elke waarde van r en s correspondeert één punt P van het vlak en omgekeerd. P wijst de plaats van een punt van het vlak aan. Het is een plaatsvector.

Neem bijvoorbeeld het vlak door het punt A(2,3,4) en met richtingsvectoren met coördinaten (-1,4,3) en (2,1,6). De vectorvoorstelling of vectoriële vergelijking van het vlak is in dit geval:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}-1\\4\\3\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}2\\1\\6\end{bmatrix}}$

Hierin zijn r en s parameters. Met stel waarden van de parameters correspondeert juist 1 punt van het vlak en omgekeerd.

Om te onderzoeken of het punt Q(-1,6,1) in het vlak ligt, moeten we nagaan of er een r en s bestaat zodat

${\begin{bmatrix}-1\\6\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}-1\\4\\3\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}2\\1\\6\end{bmatrix}}$

We moeten dus nagaan of het volgend stelsel een oplossing heeft voor r en s.

$\left\{{\begin{alignedat}{7}2&&\;-\;&&r&&\;+\;&&2s&&\;=\;&&-1&\\3&&\;+\;&&4r&&\;+\;&&s&&\;=\;&&6&\\4&&\;+\;&&3r&&\;+\;&&6s&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}\right.$

Na enig gereken vindt men dat er een oplossing r=1 ; s= -1 is. Het punt Q ligt dus in het vlak.

Indien het stelsel geen oplossing heeft voor r en s ligt het punt niet in het vlak.

Een vectorvoorstelling van een vlak door 3 punten

Drie niet collineaire punten A, B, C bepalen een vlak. Neem bijvoorbeeld punt A(3,2,1), punt B(6,-2,4) en punt C(1,3,6). We stellen een vectorvoorstelling op voor het vlak ABC. Als steunvector kunnen we een willekeurig punt nemen, dat kan dus zowel punt A, B of C zijn. Voor de twee richtingsvectoren hebben we de keus. Zo kunnen we bijvoorbeeld de richtingsvector AB= B - A gebruiken.

AB= ${\begin{bmatrix}3\\-4\\3\end{bmatrix}}$

Voor de andere richtingsvector kunnen we bijvoorbeeld AC = C - A nemen.

AC= ${\begin{bmatrix}-2\\1\\5\end{bmatrix}}$

De vectorvoorstelling is nu :

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}}$ + $r$${\begin{bmatrix}-2\\1\\5\end{bmatrix}}$ + $s$ ${\begin{bmatrix}3\\-4\\3\end{bmatrix}}$

Een vectorvoorstelling van een vlak bepaald door twee snijdende rechten

Twee kruisende rechten bepalen geen vlak. We vertrekken van twee snijdende rechten. Daar beide rechten reeds een richtingsvector bevatten kunnen we die vectoren gebruiken als richtingvectoren van het vlak. Als steunvector kan een willekeurig punt van een gegeven rechte gebruikt worden.

Neem bijvoorbeeld de rechten a en b:

${a:}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}$ + $r$${\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}$ en ${b:}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}3\\5\\7\end{bmatrix}}$ + $s$ ${\begin{bmatrix}2\\0\\1\end{bmatrix}}$

Je kunt nu vrijwel direct de vectorvoorstelling van het vlak opstellen:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}$ + $r$${\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}$ + $s$ ${\begin{bmatrix}2\\0\\1\end{bmatrix}}$

Cartesische vergelijking van een vlak

Algemene redenering

We vertrekken van een vectoriële vergelijking van een vlak door punt P(a,b,c) en met richtingen (d,e,f) en (k,l,m).

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}d\\e\\f\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}k\\l\\m\end{bmatrix}}$

Dit is gelijkwaardig met

$\left\{{\begin{alignedat}{7}x&&\;=\;&&d\;r&&\;+\;&&k\;s&&\;+\;&&a&\\y&&\;=\;&&e\;r&&\;+\;&&l\;s&&\;+\;&&b&\\z&&\;=\;&&f\;r&&\;+\;&&m\;s&&\;+\;&&c&\end{alignedat}}\right.$

Met een stel waarden voor r en s correspondeert een punt p(x,y,z) van het vlak en omgekeerd, van zodra een punt P(x,y,z) in het vlak ligt bestaat er een stel waarden van r en s. Deze drie vergelijkingen heten parametervergelijkingen van het vlak. r en s zijn de twee onafhankelijke parameters.

We stellen ons nu tot doel een nodig en voldoende voorwaarde, zonder r en s, te vinden waaraan x,y en z moeten voldoen opdat het punt P in het vlak zou liggen. Dit kan gerealiseerd worden door uit twee van de parametervergelijkingen r en s te berekenen en die waarden in de overige vergelijking te brengen. Er ontstaat dan een vergelijking van de vorm

$ux+vy+wz+h=0$

Die vergelijking heet de cartesische vergelijking van het vlak.

Voorbeeld

We vertrekken van parametervergelijkingen van een vlak

$\left\{{\begin{alignedat}{7}x&&\;=\;&&1\;r&&\;+\;&&2\;s&&\;+\;&&1&\\y&&\;=\;&&3\;r&&\;+\;&&5\;s&&\;-\;&&2&\\z&&\;=\;&&1\;r&&\;+\;&&1\;s&&\;+\;&&0&\end{alignedat}}\right.$

We berekenen bijvoorbeeld r en s uit de eerste en derde vergelijking. We vinden

$r=-x+2z+1$

$s=x-z-1$

Brengt men die waarden in de tweede vergelijking dan is r en s geëlimineerd. Er komt

$2x-y+z-4=0$

Deze vergelijking is de cartesische vergelijking van het vlak.

Alternatieve korte methode

vlak door punt P en met richtingsvectoren V en W

Het kan nogal wat rekenwerk vragen om op de hierboven beschreven methode de cartesische vergelijking van een vlak te vinden. Er bestaat ook een snellere weg.

We wensen de cartesische vergelijking van een vlak α door punt P(a,b,c) en met richtingsvectoren V(d,e,f) en W(k,l,m).

Het kruisproduct V x W van de richtingsvectoren van het vlak is een vector loodrecht op het vlak . Dit kruisproduct is de vector N(u,v,w) met

${\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}em-lf\\-(dm-kf)\\dl-ke\end{bmatrix}}$

Nu geldt:

Punt Q(x,y,z) is een punt van het vlak

$\Leftrightarrow$ vector PQ( x - a , y - b , z - c ) is orthogonaal met vector N( u , v , w)

$\Leftrightarrow$ N · PQ = 0

$\Leftrightarrow u(x-a)+v(y-b)+w(z-c)=0$

De laatste vergelijking is de nodig en voldoende voorwaarde waaraan x, y en z moeten voldoen opdat het punt Q(x,y,z) in vlak α zou liggen. Het is de cartesische vergelijking van het vlak α.

Voorbeeld

We berekenen de cartesische vergelijking van het vlak door punt P(1,-2,0) en met richtingsvectoren V(1,3,1) en W(2,5,1).

Dan volgt uit het vectorieel product van deze richtingsvectoren dat N = N(-2,1,-1).
De vergelijking van het vlak is

$-2(x-1)+1(y+2)-1z=0$

$\Leftrightarrow 2x-y+z-4=0$

Willekeurig vlak door een gegeven punt

Uit het voorgaande volgt dat de cartesische vergelijking van een vlak α door een punt P(a,b,c) een vergelijking heeft van de vorm

$\Leftrightarrow u(x-a)+v(y-b)+w(z-c)=0$

De waarden van u,v en w kunnen, in een toepassing, bepaald worden door bijkomende voorwaarden.

Van cartesische vergelijking naar een vectoriële vergelijking

Sommige vraagstukken omtrent vlakken kunnen gemakkelijker opgelost worden met behulp van de vectoriële vergelijking van het vlak dan met de cartesische vergelijking. We tonen hoe we, uitgaande van de cartesische vergelijking, een vectoriële vergelijking van het vlak kunnen vinden.

Gegeven is het vlak met cartesische vergelijking 2x + 3y + 4z = 24.
We berekenen eerst drie eenvoudige punten van het vlak. Door eenvoudige keuzes te maken gaat dit snel. We kiezen bijvoorbeeld de punten A(12,0,0) B(0,8,0) en C(0,0,6). We kunnen nu A gebruiken als steunvector. De vectoren AB(-12,8,0) en AC(-12,0,6) zijn richtingsvectoren. Een vectorvergelijking van het vlak is

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}12\\0\\0\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}-12\\8\\0\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}-12\\0\\6\end{bmatrix}}$

Evenwijdige vlakken

Vectorieel

We vertrekken van een vectoriële vergelijking van een vlak door punt P(a,b,c) en met richtingen (d,e,f) en (k,l,m).

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}d\\e\\f\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}k\\l\\m\end{bmatrix}}$

Als we beide richtingsvectoren ongewijzigd laten en de steunvector met coördinaten (a,b,c) wijzigen, krijgen we een evenwijdig vlak. (Samenvallende vlakken worden beschouwd als een speciaal geval van evenwijdigheid.)

Voorbeeld:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\8\\-1\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}d\\e\\f\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}k\\l\\m\end{bmatrix}}en{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-4\\0\\9\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}d\\e\\f\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}k\\l\\m\end{bmatrix}}$

zijn evenwijdige vlakken en het vlak door de oorsprong en evenwijdig aan vorige vlakken is

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=r{\begin{bmatrix}d\\e\\f\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}k\\l\\m\end{bmatrix}}$

Cartesisch

We vertrekken opnieuw van de cartesische vergelijking van een vlak door punt P(a,b,c) en met richtingen (d,e,f) en (k,l,m). Deze vergelijking is van de vorm

$ux+vy+wz+h=0$

De coëfficienten u = (e m -l f), v = -(d m - k f) en w = (d l - k e) hangen niet van de stand van het punt P af want a, b en c komen er niet in voor. De waarde van h echter kan, al naar gelang de stand van het punt P, alle mogelijke waarden aannemen. Hieruit volgen enkele besluiten omtrent cartesische vergelijkingen van vlakken.

• Als de vergelijkingen van twee vlakken dezelfde waarden van u, v en w hebben, dan zijn de twee vlakken evenwijdig.
• Als in de vergelijkingen van twee vlakken de waarden van u, v en w evenredig zijn, dan zijn de twee vlakken evenwijdig.
• Als men in een vergelijking van een vlak de waarde van h gelijk aan nul stelt, dan krijgen we de vergelijking van een evenwijdig vlak door de oorsprong.

Snijlijn van twee vlakken

In deze alinea beschouwen we enkel vlakken welke niet evenwijdig zijn. Die vlakken snijden elkaar volgens een snijlijn. We stellen ons tot doel de cartesische vergelijkingen van de snijlijn te bepalen.

Stel dat u x + v y + w z + h = 0 en u' x + v' y + w' z + h' = 0 de vergelijkingen zijn van twee snijdende vlakken.

Een punt P(x₀,y₀,z₀) ligt op de snijlijn van de twee vlakken $\Leftrightarrow ux_{0}+vy_{0}+wz_{0}+h=0{\mbox{ en }}u'x_{0}+v'y_{0}+w'z_{0}+h'=0$

Hieruit volgt dat als punt P(x₀,y₀,z₀) op de snijlijn ligt dan is x₀,y₀,z₀ een oplossing van het stelsel

$\left\{{\begin{alignedat}{8}ux&&\;+\;&&vy&&\;+\;&&wz&&\;+\;&&h=\;&&0&\\u'x&&\;+\;&&v'y&&\;+\;&&w'z&&\;+\;&&h'=\;&&0&\end{alignedat}}\right.$

en omgekeerd is elke oplossing x₀,y₀,z₀ van dit stelsel een stel coördinaten van een punt van de snijlijn van de vlakken.

Dit betekent dat

$\left\{{\begin{alignedat}{8}ux&&\;+\;&&vy&&\;+\;&&wz&&\;+\;&&h=\;&&0&\\u'x&&\;+\;&&v'y&&\;+\;&&w'z&&\;+\;&&h'=\;&&0&\end{alignedat}}\right.$

de cartesische vergelijkingen zijn van de snijlijn.

Als de vectoriële vergelijkingen van de vlakken gegeven zijn, kan men ze eerst omzetten naar cartesische vergelijkingen.

Normaalvector van een vlak

N is een normaalvector van het gele vlak

We vertrekken met een vast vlak door de oorsprong. Dit vlak heeft een vergelijking van de vorm

$ux+vy+wz=0$

We nemen een willekeurig punt P(a,b,c) in dit vlak. Daar P in het vlak ligt geldt:

$ua+vb+wc=0$ (1)

Neem nu een punt N zodanig dat de coördinaten van N juist de coëfficiënten van x, y en z zijn uit de vergelijking van het vlak. De corresponderende plaatsvector is dan N(u,v,w) en we berekenen het inproduct van de vector N en P.

N.P = $ua+vb+wc$ (2)

Uit (1) en (2) volgt dat de vectoren N en P orthogonaal zijn en dit geldt voor elk punt P van het vlak.

Hieruit volgt dat de vector N(u,v,w) loodrecht op het vlak staat. We noemen N(u,v,w) een normaalvector van het vlak. Elk van nul verschillend veelvoud van N is ook een normaalvector van het vlak.

Als N loodrecht op het vlak door O staat, staat ze ook loodrecht op elk evenwijdig vlak. Dus N(u,v,w) is ook normaalvector van het vlak

$ux+vy+wz+h=0$

en dit geldt voor alle h.

Eigenschappen

• Een normaalvector van een vlak is een vrije vector die ons de richting loodrecht op het vlak geeft.
• Elk van nul verschillend veelvoud van een normaalvector van een vlak is ook een normaalvector van dat vlak en van alle evenwijdige vlakken.
• Als twee vlakken eenzelfde normaalvector hebben, zijn ze evenwijdig.
• Als het inproduct van de normaalvectoren van twee vlakken nul is, staan de vlakken loodrecht op elkaar.

Middelloodvlak van een lijnstuk

Het middelloodvlak van een lijnstuk is het vlak door het midden van het lijnstuk en loodrecht op het lijnstuk.

Voorbeeld

We berekenen het middelloodvlak van het lijnstuk [AB] met A(1,2,3) en B(3,-4,5). Het midden M is dan M(2,-1,4). De vector AB(2,-6,2) is een richtingsvector van de rechte AB en dus ook van het lijnstuk [AB]. Maar dan is ook v(1,-3,1) een richtingsvector van [AB] en dus een normaalvector van het middelloodvlak. Daardoor heeft het middelloodvlak een vergelijking van de vorm

$x-3y+z+h=0$

De nog onbekende waarde van h kunnen we berekenen door uit te drukken dat punt M in dit vlak moet liggen. De voorwaarde is

$2+3+4+h=0\Leftrightarrow h=-9$

Het middelloodvlak heeft vergelijking

$x-3y+z-9=0$

Men kan ook als volgt redeneren. Een willekeurig vlak door punt M(2,-1,4) heeft een vergelijking van de vorm

$u(x-2)+v(y+1)+w(z-4)=0$

Dit vlak heeft een normaalvector (u,v,w) en dit moet de vector v(1,-3,1) worden. Het middelloodvlak heeft dan vergelijking

$(x-2)-3(y+1)+(z-4)=0\Leftrightarrow x-3y+z-9=0$

Eigenschap

Het middelloodvlak van een lijnstuk is de meetkundige plaats van alle punten die evenver liggen van de uiteinden van dit lijnstuk.

Projectie van een vector op een vlak

Projectie van een vector V op een vlak

De loodrechte projectie P van een vector V op een vlak door O is verschil tussen die vector V en zijn loodrechte projectie P' op een normaalvector N van dat vlak. Met andere woorden: V = P + P' . De orthogonale projectie P' van V op N is gelijk aan (V.N)N/N². Uit P' en V volgt dan de gezochte waarde van P, daar P = V - P' .

Voorbeeld

We vertrekken van een plaatsvector V(3,5,2) en het vlak door de oorsprong O met vergelijking x + y -2 z = 0. We berekenen de loodrechte projectie van V op het gegeven vlak.

De vector N(1,1,-2) is een normaalvector van het vlak. De projectie P' van V op N is 4 N /6 = 2 N /3 = P' (2/3, 2/3, -4/3).

De projectie P van V op het vlak is V(3,5,2) - P' (2/3, 2/3, -4/3) = P(7/3, 13/3, 10/3)

Spiegeling van een vector ten opzichte van een vlak

Spiegeling van vector V ten opzichte van een vlak

De orthogonale spiegeling V' van een vector V ten opzichte van een vlak door O is verbonden met de loodrechte projectie P van V op het vlak door de volgende uitdrukking . V + V' = 2 P. Om het spiegelbeeld V' te berekenen is het voldoende P te kennen.

Voorbeeld

We vertrekken van een plaatsvector V(3,5,2) en het vlak door de oorsprong O met vergelijking x + y -2 z = 0. We berekenen het spiegelbeeld V' van V ten opzichte van het gegeven vlak.

In vorige paragraaf hebben we gevonden dat de projectie P van V op het vlak gelijk is aan P(7/3, 13/3, 10/3).

Nu is V' = 2 P - V. We vinden V' (5/3, 11/3, 14/3)

Afstand van een punt naar een vlak

Neem een willekeurig punt P(a,b,c) en een willekeurig vlak met vergelijking u x + v y + w z + h = 0 . Men kan aantonen dat de afstand van P naar het vlak gelijk is aan

${\frac {|ua+vb+wc+h|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}}$