Vectormeetkunde/Vergelijking van een lijn

Op deze pagina wordt eerst getoond hoe vectorvergelijkingen en cartesische vergelijkingen van lijnen kunnen opgesteld worden. Verder wordt snijden van lijnen en evenwijdigheid onderzocht. Hoeken tussen lijnen kunnen berekend en loodrechte stand kan gecontroleerd worden.

Vectorvoorstelling van een lijn

Vectorvoorstelling van een lijn opstellen

In de driedimensionale ruimte kan de positie van een lijn worden vastgelegd door een van zijn punten samen met de richting van de lijn.

Met een willekeurig punt A van de lijn correspondeert juist één plaatsvector A. Omdat de lijn als het ware op de punt van die plaatsvector steunt, noemt men die plaatsvector een steunvector van de lijn.

A is steunvector; BC is een richtingsvector van de rechte

De richting van de lijn kunnen we aanduiden met een van nul verschillende vrije vector. Zo'n vector heet een richtingsvector van de lijn. Elk van nul verschillend veelvoud van die richtingsvector is ook een richtingsvector van dezelfde lijn.Op de figuur is BC een richtingsvector van de lijn.

Nu geldt:

Punt P ligt op de lijn met steunvector A en richtingsvector BC

$\Leftrightarrow$ Er bestaat een getal r zodat AP = r BC

$\Leftrightarrow$ Er bestaat een getal r zodat P - A = r BC

$\Leftrightarrow$ Er bestaat een getal r zodat P = A + r BC

P = A + r BC is de vectorvoorstelling van de lijn. Hierin is A een plaatsvector en r een rëele parameter. Met elke waarde van r correspondeert één punt P op de lijn en omgekeerd.

Neem bijvoorbeeld de lijn door de punten A(2,2,2) en B(4,2,1). We hebben een steunvector nodig. Aangezien we twee bekende punten hebben kunnen we hier zowel punt A als B gebruiken. Met punt A correspondeert juist één plaatsvector A, die vector kiezen we als steunvector. De vector AB is een richtingsvector. Die vrije vector heeft coördinaten (2,0,-1). De vectorvoorstelling of vectoriële vergelijking van de lijn is in dit geval: P = A + r AB of ook:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix}}$.

Kiest men een waarde van r dan kan men de corresponderende plaats van P berekenen.

We onderzoeken nu eens of een punt, bijvoorbeeld punt Q(12,2,7), op die lijn ligt. De vergelijking van de lijn geeft ons de voorwaarde opdat een punt tot de lijn behoort. Het punt Q ligt op de lijn als er een r bestaat zodat

${\begin{bmatrix}12\\2\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix}}$.

Het is snel duidelijk dat er geen r-waarde bestaat zodat bovenstaande gelijkheid waar is. Het punt Q ligt niet op de lijn.

Toepassing

We vertrekken van de rechte BC door de punten B(4,2,7) en C(5,5,9) en we zullen onderzoeken of er een waarde voor n en m bestaat zodat het punt P(m+2, -4, n) op die rechte gelegen is.

We nemen vector B als steunvector en de vector BC als richtingsvector. De vectoriële vergelijking van de lijn BC is:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}4\\2\\7\end{bmatrix}}$ + $r$${\begin{bmatrix}1\\3\\2\end{bmatrix}}$

De nodig en voldoende voorwaarde opdat P op de rechte zou liggen is dat er getallen m, n en r bestaan zodat

${\begin{bmatrix}m+2\\-4\\n\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}4\\2\\7\end{bmatrix}}$ + $r$${\begin{bmatrix}1\\3\\2\end{bmatrix}}$

Dit is gelijkwaardig met het stelsel vergelijkingen

$\left\{{\begin{alignedat}{5}m+2&&\;=\;&&4&&\;+\;&&r&\\-4&&\;=\;&&2&&\;+\;&&3r&\\n&&\;=\;&&7&&\;+\;&&2r&\end{alignedat}}\right.$

Dit stelsel heeft r = -2 , m = 0 , n = 3 als oplossing. Hieruit kunnen we besluiten dat enkel voor n=3 en m=0 het punt P(m+2, -4, n) op die gegeven rechte gelegen is.

Evenwijdige lijnen

Als van twee lijnen de vectorvoorstelling bekend is, is het heel makkelijk te zien of de lijnen evenwijdig lopen. Zoals in de vorige alinea beschreven werd, bepaalt de richtingsvector de richting van de lijn. Lijnen lopen evenwijdig enkel en alleen als de richtingsvector van de ene rechte een veelvoud is van de richtingsvector van de andere.

Neem bijvoorbeeld de volgende rechten

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix}}$ + $r$${\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix}}$ en

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}6\\-4\\0\end{bmatrix}}$ + $r$${\begin{bmatrix}4\\0\\-2\end{bmatrix}}$

De richtingsvectoren ${\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix}}{\text{ en }}{\begin{bmatrix}4\\0\\-2\end{bmatrix}}$ zijn veelvouden van elkaar! De lijnen lopen dus evenwijdig.

Als twee lijnen met een zelfde richting een punt gemeen hebben, vallen ze samen. Dit geval kan beschouwd worden als een speciaal geval van evenwijdigheid.

De volgende lijn m gaat door het punt (4,2,1).

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix}}$ + $r$${\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix}}$

De lijn n

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}4\\2\\1\end{bmatrix}}$ + $r$${\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix}}$

bevat ook het punt (4,2,1) en is evenwijdig met m. Beide lijnen vallen samen.

Parametervergelijkingen van een lijn

We vertrekken van de lijn met plaatsvector P(a,b,c) en richtingsvector v(u,v,w).

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}$

Deze vectoriële voorstelling van de lijn is gelijkwaardig met de voorstelling in de vorm van een stelsel

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x&&\;=\;&&a&&\;+\;&&ru&\\y&&\;=\;&&b&&\;+\;&&rv&\\z&&\;=\;&&c&&\;+\;&&rw&\end{alignedat}}\right.$

Hierin zijn a,b,c,u,v en w vaste waarden terwijl r veranderlijk is. Met elke waarde van r correspondeert een punt P(x,y,z) van de lijn en als r vloeiend verandert, doorloopt het punt P de lijn. De veranderlijke r noemt men een parameter en het stelsel heet een stelsel parametervergelijkingen van de lijn.

Cartesische vergelijkingen van een lijn

Inleidend voorbeeld

We vertrekken van de lijn

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\2\\3\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}2\\5\\3\end{bmatrix}}$

Dit is gelijkwaardig met

${\begin{cases}x&=&4&+&2r&\\y&=&2&+&5r&\\z&=&3&+&3r&\end{cases}}$

Of ook met

$r={\frac {x-4}{2}}={\frac {y-2}{5}}={\frac {z-3}{3}}$

Een punt P(x,y,z) ligt op de lijn dan en slechts dan als

${\frac {x-4}{2}}={\frac {y-2}{5}}={\frac {z-3}{3}}$

Dit zijn eigenlijk twee vergelijkingen:

${\frac {x-4}{2}}={\frac {y-2}{5}}$

${\frac {y-2}{5}}={\frac {z-3}{3}}$

Na een kleine omvorming komt er

${\begin{cases}5x-2y-16&=&0\\3y-5z+9&=&0\end{cases}}$

Als een punt op de lijn ligt, zijn die twee vergelijkingen vervuld en omgekeerd. De twee vergelijkingen heten de cartesische vergelijkingen van de lijn. In de ruimtemeetkunde kan een lijn dus voorgesteld worden door een stelsel van twee vergelijkingen.

Algemeen

We vertrekken van een algemene lijn

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}d\\e\\f\end{bmatrix}}$

Dit is gelijkwaardig met

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x&&\;=\;&&a&&\;+\;&&d\;r&\\y&&\;=\;&&b&&\;+\;&&e\;r&\\z&&\;=\;&&c&&\;+\;&&f\;r&\end{alignedat}}\right.$

Eerste geval: d, e en f zijn niet nul. Dan is het voorgaande gelijkwaardig met

$r={\frac {x-a}{d}}={\frac {y-b}{e}}={\frac {z-c}{f}}$

Een punt P(x,y,z) ligt op de lijn dan en slechts dan als

${\frac {x-a}{d}}={\frac {y-b}{e}}={\frac {z-c}{f}}$

Dit zijn eigenlijk twee vergelijkingen:

${\frac {x-a}{d}}={\frac {y-b}{e}}$

${\frac {y-b}{e}}={\frac {z-c}{f}}$

Deze zijn om te vormen tot

$\left\{{\begin{alignedat}{3}ex-dy&&\;=\;&&ae-bd&\\fy-ez&&\;=\;&&bf-ce&\end{alignedat}}\right.$

Als een punt op de lijn ligt, zijn die twee vergelijkingen vervuld en omgekeerd. Het zijn de vergelijkingen van de lijn.

Tweede geval: één component van de richtingsvector is nul. Stel dat e = 0. Nu is

$x=a+d\;r$

$y=b$

$z=c+f\;r$

Een punt P(x,y,z) ligt op de lijn dan en slechts dan als

${\frac {x-a}{d}}={\frac {z-c}{f}}$ en $y=b$

Als een punt op de lijn ligt, zijn die twee vergelijkingen vervuld en omgekeerd. Het zijn de vergelijkingen van de lijn.

Derde geval: twee componenten van de richtingsvector zijn nul. Stel dat d en f nul zijn. Nu is

$x=a$

$y=b+e\;r$

$z=c$

De tweede vergelijking is overbodig, want er is altijd een r zodat $y=b+e\;r$

Een punt P(x,y,z) ligt op de lijn dan en slechts dan als x = a en z = c. Het zijn de vergelijkingen van de lijn.

Samenvatting:

De algemene lijn met vectoriële voorstelling

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}d\\e\\f\end{bmatrix}}$

heeft ook een voorstelling bestaande uit twee vergelijkingen

${\frac {x-a}{d}}={\frac {y-b}{e}}={\frac {z-c}{f}}$

Als een noemer nul is, wordt die breuk weggelaten en de overeenkomstige teller wordt gelijk aan nul gesteld.

Voorbeeld : Zwaartelijnen van een driehoek

We vertrekken van de driehoek ABC met hoekpunten A(2,2,4) B(4,6,0) en C(0,0,2) en we berekenen de vectoriële en cartesische vergelijkingen van de drie zwaartelijnen.

Midden van [AB] = C'(3,4,2)
Midden van [BC] = A'(2,3,1)
Midden van [CA] = B'(1,1,3)
Een richtingsvector van zwaartelijn AA' is u(0,1,-3)
Een richtingsvector van zwaartelijn BB' is v(-3,-5,3)
Een richtingsvector van zwaartelijn CC' is w(3,4,0)

Vectoriële vergelijkingen van AA' zijn

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\2\\4\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}0\\1\\-3\end{bmatrix}}$

De cartesische vergelijkingen zijn

$x=2{\mbox{ ; }}{\frac {y-2}{1}}={\frac {z-4}{-3}}$

$\Leftrightarrow x=2{\mbox{ ; }}3y+z-10=0$

Vectoriële vergelijkingen van BB' zijn

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\6\\0\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}-3\\-5\\3\end{bmatrix}}$

De cartesische vergelijkingen zijn

${\frac {x-4}{-3}}={\frac {y-6}{-5}}={\frac {z-0}{3}}$

$\Leftrightarrow -5x+3y+2=0{\mbox{ ; }}x+z=4$

Vectoriële vergelijkingen van CC' zijn

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\2\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}3\\4\\0\end{bmatrix}}$

De cartesische vergelijkingen zijn

${\frac {x}{3}}={\frac {y}{4}}{\mbox{ ; }}z=2$

$\Leftrightarrow 4x-3y=0{\mbox{ ; }}z=2$

Van cartesische vergelijkingen naar een vectoriële vergelijking

Sommige vraagstukken omtrent lijnen kunnen gemakkelijker opgelost worden met behulp van de vectoriële vergelijking van de lijn, dan met de cartesische vergelijkingen. We tonen hoe we, uitgaande van de cartesische vergelijkingen, een vectoriële vergelijking van de lijn kunnen vinden.

Gegeven is een lijn met cartesische vergelijkingen

$\left\{{\begin{alignedat}{3}x+y+z&&\;=\;&&6\\2x+2y+z&&\;=\;&&11\\\end{alignedat}}\right.$

We berekenen eerst twee eenvoudige punten van de lijn. Daartoe kiezen we eerst x=0 en dan y=0. We vinden de punten A(0,5,1) en B(5,0,1). We gebruiken A als steunvector en AB(5,-5,0) is een richtingsvector, maar dan is ook v(1,-1,0) een richtingsvector. De vectorvergelijking van de lijn is

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\5\\1\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}$

Snijpunt van twee lijnen

Twee willekeurige lijnen in de ruimte hebben over het algemeen geen snijpunt, ze "kruisen" elkaar. We vertrekken met de vectorvoorstelling van twee rechten a en b.

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}-1\\3\\5\end{bmatrix}}{\mbox{ en }}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\1\\3\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}}$

r is de naam van een parameter op de eerste rechte en op de tweede rechte. Maar dit zijn twee onafhankelijke parameters. Dus moeten we voor de berekeningen zorgen dat een van die parameters een andere naam krijgt. We schrijven voor de rechte b

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\1\\3\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}}$

Een eventueel snijpunt S(x,y,z) moet tot beide rechten behoren. Voor een snijpunt moet dan een r-waarde en een s-waarde bestaan zodat

$1-r=2+s$

$2+3r=1-s$

$3+5r=3+s$

Als we r en s uit de eerste twee vergelijkingen berekenen, zien we dat die gevonden waarden geen oplossing uitmaken van de derde vergelijking. Het stelsel heeft dus geen oplossing. Dit betekent dat de twee rechten a en b elkaar niet snijden.

In een tweede voorbeeld vertrekken we van de rechten c en d

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\5\\1\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}{\mbox{ en }}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}1\\3\\1\end{bmatrix}}$

Een eventueel snijpunt S(x,y,z) moet tot beide rechten behoren. Voor een snijpunt moet dan een r-waarde en een s-waarde bestaan zodat

$r=2+s$

$5-r=-1+3s$

$1=s$

Het stelsel heeft de oplossing r=3 ; s=1. Het corresponderend snijpunt is S(3,2,1)

Hoek tussen twee lijnen

De hoek α tussen twee lijnen is de scherpe hoek tussen twee richtingsvectoren van de lijnen. Neem lijn a met een richtingsvector A en lijn b met een richtingsvector B.

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =||\mathbf {A} ||\cdot ||\mathbf {B} ||\cdot \cos(\alpha )$

zodat

$\cos(\alpha )={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{||\mathbf {A} ||\cdot ||\mathbf {B} ||}}$

Merk op dat deze definitie niet eist dat de lijnen elkaar snijden. Hier wordt dus ook de hoek tussen twee kruisende rechten vastgelegd.

Voorbeeld 1

Neem de punten A(1,2,3) ; B(4,5,6) ; C(3,2,0). We berekenen de hoek tussen de rechten AB en AC. De rechte AB heeft richting (3,3,3) en rechte AC heeft richting (2,0,-3).

$\cos(\alpha )={\frac {6+0-9}{{\sqrt {27}}\cdot {\sqrt {13}}}}$

Als scherpe hoek vinden we 80,78 graden.

Voorbeeld 2

We onderzoeken of de volgende rechten orthogonaal zijn

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\6\\2\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}-3\\-1\\3\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}-1\\-2\\2\end{bmatrix}}$

De richtingsvectoren zijn v(-3,-1,3) en w(-1,-2,2) Het scalair product van de richtingsvectoren is v.w = 3 + 2 + 6 = 11. De rechten zijn niet orthogonaal.