Transmissielijnen/Voortplantingscoëfficiënt

De voortplantingsoëfficiënt is:

$\gamma =\alpha +j\beta ={\sqrt {(r+j\omega c)(g+j\omega l)}}$.

We drukken α en β uit in de andere parameters:

$\gamma ^{2}=\alpha ^{2}-\beta ^{2}+2j\alpha \beta =(r+j\omega c)(g+j\omega l)=(rg-\omega ^{2}lc)+j\omega (rc+lg)$.

Dus

$\alpha ^{2}-\beta ^{2}=rg-\omega ^{2}lc=-p$ (voor de meeste gevallen p > 0)

en

$2\alpha \beta =\omega (rc+lg)=q$ (q > 0)

De parameters $\alpha$ en $\beta$ kunnen dus uitgedrukt worden in $p$ en $q$, en wel:

$\alpha {\sqrt {2}}={\sqrt {{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}-p}}$

en

$\beta {\sqrt {2}}={\sqrt {({\sqrt {p^{2}+q^{2}}}+p)}}$.

Voor lijnen met weinig of geen verlies geldt voor hoge frequenties: $p<<q$. Voor dat geval geldt de benadering:

$\alpha {\sqrt {2}}={\sqrt {p{\sqrt {1+q^{2}/p^{2}}}-p}}\approx {\sqrt {p(1+q^{2}/2p^{2})-p}}={\frac {q}{\sqrt {2p}}}$

Dan is dus:

$\alpha \approx {\frac {q}{2{\sqrt {p}}}}\approx \omega {\frac {rc+lg}{2{\sqrt {\omega ^{2}lc}}}}={\tfrac {1}{2}}(r{\sqrt {\frac {c}{l}}}+g{\sqrt {\frac {l}{c}}})$

en

$\beta \approx {\sqrt {p+q^{2}/4p}}\approx \omega {\sqrt {lc}}-{\frac {rg}{4\omega {\sqrt {lc}}}}$.

dus voor hoge frequenties, $\omega \rightarrow \infty$, vinden we nog als benadering:

$\beta \approx \omega {\sqrt {lc}}$.