Transmissielijnen/Karakteristieke impedantie

Een belangrijke parameter van een transmissielijn is de karakteristieke impedantie:

$Z_{0}={\sqrt {\frac {r+j\omega l}{g+j\omega c}}}.$

Het is de impedantie van een oneindig lange lijn, zoals we als volgt kunnen zien. De impedantie aan het begin van een lijn, de ingangsimpedantie, is:

$Z_{in}=Z_{0}{\frac {1+\Gamma _{L}e^{-2\gamma L}}{1-\Gamma _{L}e^{-2\gamma L}}}.$

Aangezien het reële deel α van de voortplantingscoefficient γ positief is, zal voor een oneindige lange lijn gelden:

$Z_{in}=\lim _{L\to \infty }Z_{0}{\frac {1+\Gamma _{L}e^{-2\gamma L}}{1-\Gamma _{L}e^{-2\gamma L}}}=Z_{0}.$

Nu zal men meestal niet aan een oneindig lange lijn meten. Er blijken echter twee eenvoudige metingen aan een lijn mogelijk te zijn om de karakteristieke impedantie te kunnen bepalen.

Kortgesloten lijn

Een lijn die aan het einde is kortgesloten, dus met:

$z_{L}=0,$

zal een ingangsimpedantie hebben van:

$Z_{kort}=Z_{0}{\frac {z_{L}+\tanh(\gamma L)}{1+z_{L}\tanh(\gamma L)}}=Z_{0}\tanh(\gamma L).$

Open lijn

Is de lijn aan het uiteinde open, dwz. onbelast, dus met:

$z_{L}=\infty ,$

dan zal de ingangsimpedantie gelijk zijn aan:

$Z_{open}=Z_{0}{\frac {z_{L}+\tanh(\gamma L)}{1+z_{L}\tanh(\gamma L)}}={\frac {Z_{0}}{\tanh(\gamma L)}}.$

We kunnen de karakteristieke impedantie dus via twee eenvoudige metingen, berekenen als:

$Z_{0}={\sqrt {Z_{kort}Z_{open}}}.$

Kwart-lambdalijn

Een speciaal geval is ook de zgn. kwart-lambdalijn, een verliesvrije transmissielijn met een lengte gelijk aan een kwart van de golflengte van het signaal. Aangezien:

$\beta \lambda _{lijn}=2\pi ,$

geldt:

$\cosh(\gamma L)=\cosh \left(j\beta {\frac {\lambda }{4}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)=0,$

zodat:

$z_{in}={\frac {z_{L}+\tanh(\gamma {\frac {\lambda }{4}})}{1+z_{L}\tanh(\gamma {\frac {\lambda }{4}})}}={\frac {1}{z_{L}}}.$

Half-lambdalijn

Een ander speciaal geval is de zgn. half-lambdalijn, een verliesvrije transmissielijn met een lengte gelijk aan de helft van de golflengte van het signaal. Aangezien:

$\beta \lambda _{lijn}=2\pi ,$

geldt:

$\sinh(\gamma L)=\sinh(j\beta {\frac {\lambda }{2}})=-j\sin(\pi )=0,$

zodat:

$z_{in}={\frac {z_{L}+\tanh(\gamma {\frac {\lambda }{2}})}{1+z_{L}\tanh(\gamma {\frac {\lambda }{2}})}}=z_{L}.$