Toevalsprocessen/Statistische onafhankelijkheid

Statistische onafhankelijkheid is een kernbegrip van de kansrekening. Intuïtief gezien betekent statistische onafhankelijkheid dat bij twee gebeurtenissen het feit of de ene gebeurtenis al dan niet voorkomt geen invloed heeft op de kans dat de andere gebeurtenis voorkomt. Hetzelfde begrip kan ook op stochastische variabelen toegepast worden.

Intuïtieve verklaring

Als we willekeurig een mens op aarde aanwijzen, zal de kans dat het een vrouw blijkt te zijn gelijk zijn aan 1/2. Vertelt iemand ons dat de aangewezen persoon uit Afrika komt, dan nog zal het in de helft van de gevallen een vrouw blijken te zijn, dat wil zeggen ook dan zal de kans op een vrouw 1/2 zijn. Anders wordt het voor de kans op een donkere huidskleur. Deze kans is kleiner voor een willekeurige wereldburger dan een willekeurig gekozen persoon uit Afrika. Het optreden van de gebeurtenis A(frika) verandert niets aan de kans op de gebeurtenis V(rouw), maar wel aan de kans op de gebeurtenis D(onkere huidskleur). We noemen daarom de gebeurtenissen A en V (onderling) onafhankelijk. De gebeurtenissen A en D daarentegen heten (onderling) afhankelijk. Een formele definitie wordt meestal in termen van het gelijktijdig optreden van beide gebeurtenissen gegeven, waaruit de bovengenoemde eigenschap volgt.

Onafhankelijkheid van gebeurtenissen

Definitie

In een kansruimte heten de gebeurtenissen A en B onderling onafhankelijk als de kans op gelijktijdig optreden het product is van de kansen op afzonderlijk optreden, dus:

$\,P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Twee gebeurtenissen die niet onderling onafhankelijk zijn heten onderling afhankelijk.

Meestal zeggen we kort dat de gebeurtenissen (on)afhankelijk zijn i.p.v. onderling (on)afhankelijk.

Eigenschap

Uit de definitie volgt voor onafhankelijke gebeurtenissen A en B:

$\,P(B|A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}={\frac {P(A)P(B)}{P(A)}}=P(B)$.

We zien dat als de gebeurtenissen A en B onderling onafhankelijk zijn, de voorwaardelijke kans van optreden van B gegeven dat A opgetreden is, gelijk is aan de onvoorwaardelijk kans op het optreden van B. Dit is precies de eigenschap die in de inleiding genoemd werd.

Onafhankelijkheid van stochastische variabelen

Ook voor stochastische variabelen spreken we van onafhankelijkheid en we baseren dat op onafhankelijkheid van gebeurtenissen. We noemen twee stochastische variabelen (onderling) onafhankelijk als elke gebeurtenis die de een betreft onafhankelijk is van elke gebeurtenis die de ander betreft.

Definitie

De stochastische variabelen X en Y heten onderling onafhankelijk als voor alle B₁ en B₂ de gebeurtenissen;

$\{X\in B_{1}\}$

en

$\{Y\in B_{2}\}$

onderling onafhankelijk zijn.

Als X integreerbaar is (dat wil zeggen een verwachting heeft), dan is dit gelijkwaardig met de eis dat de voorwaardelijke verwachting van X ten opzichte van Y een constante is.

Stochastische variabelen die niet onderling onafhankelijk zijn heten ondeling afhankelijk.

Ook bij stochastische variabelen zeggen we kort dat ze (on)afhankelijk zijn i.p.v. (onderling) (on)afhankelijk.

Eigenschap

De definitie is equivalent met de formulering: X en Y zijn onafhankelijk als voor alle x en y geldt:

$\,F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$.

Als X en Y beide discreet zijn, kan deze formulering nog vereenvoudigd worden tot: X en Y zijn onafhankelijk als voor alle x en y geldt:

$\,P(X=x\cap Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$.