Toevalsprocessen/Exponentiële verdeling

De exponentiële verdeling is een continue verdeling. De exponentiële verdelingen worden vaak gebruikt voor het modelleren van de tijd tussen twee gebeurtenissen die met een constante gemiddelde snelheid voorkomen. De exponentiële verdeling is een specifiek geval van de Gammaverdeling.

Definitie

De kansdichtheid f van een exponentiële verdeling wordt gegeven door:

$f(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

waar λ > 0 de parameter van de verdeling is, die vaak een snelheidsparameter of intensiteitsparameter is. De verdeling wordt gedragen door het interval [0,∞). De verdeling wordt vanwege de negatieve exponent, ook wel negatief-exponentiële verdeling genoemd. Het is het continue analogon van de geometrische verdeling.

De (cumulatieve) verdelingsfunctie wordt gegeven door

$F(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

Alternatieve parameter

In plaats van de bovengenoemde parameter $\lambda$, wordt ook wel de parameter $\mu =1/\lambda$ gebruikt. De kansdichtheid heeft dan de vorm:

$f(x;\mu )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{\mu }}e^{-x/\mu }&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

De parameter μ > 0 is het omgekeerde van de eerder genoemde snelheidsparameter λ, en stelt een levensduurparameter voor. Als een toevalsvariabele X de levensduur van een biologisch of mechanisch systeem voorstelt en X is exponentieel verdeeld met parameter μ, dan is $E(X)=\mu$, dus de verwachte levensduur van het systeem bedraagt μ tijdseenheden.

Geheugenloosheid

De exponentiële verdeling heeft als merkwaardige eigenschap geheugenloosheid. Als X een levensduur is die exponentieel verdeeld is, worden de overlevingskansen voor x>0 gegeven door:

${\frac {}{}}P(X>x)=e^{-\lambda x}$.

We leiden nu eenvoudig af dat voor x,y>0 geldt:

${\frac {}{}}P(X>x+y|X>x)=P(X>x+y)/P(X>x)=P(X>y)$.