Matrixrekening/Eenvoudige matrixberekeningen

Op deze pagina worden eenvoudige matrixberekeningen, zoals optellen aftrekken en vermenigvuldigen uitgelegd.

Eenvoudige berekeningen met matrices

1. Optellen/aftrekken van matrices

Matrices kun je bij elkaar optellen, maar alleen als ze beide dezelfde afmetingen hebben. De getallen die op overeenkomstige plaatsen in de matrices staan, kun je dan simpelweg bij elkaar optellen, waardoor er een nieuwe matrix ontstaat:

$A+B={\begin{bmatrix}1&1\\2&4\\-1&5\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}6&-4\\1&3\\1&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7&-3\\3&7\\0&10\end{bmatrix}}$

Aftrekken van een matrix gaat op dezelfde manier:

$A-B={\begin{bmatrix}1&1\\2&4\\-1&5\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}6&-4\\1&3\\1&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-5&5\\1&1\\-2&0\end{bmatrix}}$

2. Matrix vermenigvuldigen met een getal

Het is ook goed mogelijk de gehele matrix te vermenigvuldigen met een getal. Alle elementen van de matrix worden dan met dat getal vermenigvuldigd.

$A={\begin{bmatrix}1&1\\2&4\\-1&5\end{bmatrix}}$

We kunnen A bijvoorbeeld vermenigvuldigen met het getal 2:

$2A=2{\begin{bmatrix}1&1\\2&4\\-1&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&2\\4&8\\-2&10\end{bmatrix}}$

3. Vermenigvuldigen van matrices

Vermenigvuldigen van twee matrices is wat lastiger dan optellen of aftrekken. Vermenigvuldigen van twee matrices kan alleen plaatsvinden als het aantal kolommen van de eeerste matrix overeenkomt met het aantal rijen van de tweede matrix! Bijvoorbeeld:

$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\2&4&6\end{bmatrix}}$ en $B={\begin{bmatrix}2\\4\\1\end{bmatrix}}$

De eerste matrix heeft 3 kolommen, de tweede matrix heeft 3 rijen, ze kunnen dus met elkaar vermenigvuldig worden.

$AB={\begin{bmatrix}1&1&2\\2&4&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\4\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\times 2+1\times 4+2\times 1\\2\times 2+4\times 4+6\times 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\26\end{bmatrix}}$

Wat er eigenlijk gedaan wordt, is dat elke rij van A met elke kolom van B elementsgewijs wordt vermenigvuldigd (vandaar ook dat het aantal rijen van de ene matrix gelijk moet zijn aan het aantal kolommen van de andere matrix) en de producten bij elkaar opgeteld.

Een volgend voorbeeld:

$C={\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&0&-1&-2\end{bmatrix}}$ en $D={\begin{bmatrix}9&8\\7&6\\5&4\\3&2\end{bmatrix}}$

De matrix C is een 3x4-matrix, D een 4x2-matrix. Er kan dus vermenigvuldiging plaatsvinden.

$CD={\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&0&-1&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}9&8\\7&6\\5&4\\3&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\times 9+2\times 7+3\times 5+4\times 3&1\times 8+2\times 6+3\times 4+4\times 2\\5\times 9+6\times 7+7\times 5+8\times 3&5\times 8+6\times 6+7\times 4+8\times 2\\9\times 9+0\times 7-1\times 5-2\times 3&9\times 8+0\times 6-1\times 4-2\times 2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}50&40\\146&120\\70&64\end{bmatrix}}$

Van te voren is al te bepalen welke variant matrix de uitkomst wordt. Wordt een 3x4- met een 4x2-matrix vermenigvuldigd, dan is de uitkomst een 3×2-matrix. In het algemeen geldt dus: m×p- vermenigvuldigd met p×n- wordt een m×n-matrix.

       <<<Inhoudsopgave--Eenvoudige Matrixberekeningen--Determinant van een 2x2-matrix>>>