Matrixrekening/Determinant van een 2x2-matrix

Deze pagina gaat over het bepalen van de determinant van een 2x2 matrix

Determinanten

0. Stelsel lineaire vergelijkingen

Het stelsel vergelijkingen

${\begin{cases}2x+3y=1\\x-5y=20\end{cases}}$

kan met matrices geschreven worden als:

$A{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&3\\1&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\20\end{bmatrix}}$

Door vermenigvuldiging met de matrix:

$B={\begin{bmatrix}5/13&3/13\\1/13&-2/13\end{bmatrix}}$

vinden we:

${\begin{bmatrix}5/13&3/13\\1/13&-2/13\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&3\\1&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5/13&3/13\\1/13&-2/13\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\20\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\-3\end{bmatrix}}$

en daarmee de oplossing.

Maar hoe komen we aan die matrix B? Die lijkt zomaar uit de lucht te komen vallen. Dat is echter niet zo, B is de inverse matrix van A, de matrix die a.h.w. het tegenovergestelde doet van A. Er geldt:

$BA={\begin{bmatrix}5/13&3/13\\1/13&-2/13\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&3\\1&-5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

1. Determinant

Niet iedere matrix heeft een inverse. Als het stelsel vergelijkingen oplosbaar is dan wel, en omgekeerd: als A een inverse heeft is het stelsel oplosbaar. Om te bepalen of het stelsel oplosbaar is, dus of A een inverse heeft, berekenen we de determinant van A (of van het stelsel). Dat getal heet natuurlijk niet voor niets determinant (= "hij die bepaalt"). Als de determinant ongelijk is aan 0 heeft de matrix een inverse en is het stelsel oplosbaar. Voor de matrix:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

is de determinant gedefinieerd als het getal:

$D={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$

De matrix A van het bovengenoemde stelsel heeft als determinant:

$|A|={\begin{vmatrix}2&3\\1&-5\end{vmatrix}}=2\times (-5)-3\times 1=-13$

Dat getal kwamen we al tegen in alle elementen van de matrix B, de inverse van A. Om de inverse van een matrix te berekenen, moeten we de determinant D daarvan bepalen. Voor een willekeurige 2×2-matrix

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

is de inverse:

${\frac {1}{D}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}$

Determinanten worden gebruikt voor het sneller oplossen van systematische stelsels. Zoals dit stelsel:

${\begin{cases}2x+3y=1\\x-5y=20\end{cases}}$

Om de juiste oplossing voor x en y te vinden kun je werken met determinanten. In principe is dit soms een snellere manier om tot een oplossing te komen. Echter, het is voor deze simpele stelsels (alleen een x en een y) waarschijnlijk makkelijker op een 'gewone' manier uit te rekenen.

Er zitten wel beperkingen aan het gebruik van determinanten, dit kan alleen als het gaat om een vierkant stelsel vergelijkingen! Het voorbeeld, dat een 2x2 stelsel is, kan dus via een determinant worden berekend.

2. Stelsel oplossen via een determinant

Op een stelsel via een determinant op te lossen moeten we eigenlijk 2 'determinanten' berekenen: de D de D_x en de D_y. Neem nu bijvoorbeeld het volgende stelsel vergelijkingen:

${\begin{cases}2x+3y=1\\x-5y=20\end{cases}}$

Om te laten zien dat wij hier gebruik gaan maken van een determinant plaatsen we twee rechte strepen rond het stelsel. Ook plaatsen we binnen die strepen ALLEEN de waardes waar het om draait: $D={\begin{vmatrix}2&3\\1&-5\end{vmatrix}}$ Dit zijn dus alleen de 2 van 2x en de 3 van 3y op de bovenste regel en de 1 van 1x en de -5 van -5y op de onderste regel. Deze determinant wordt vervolgens zo uitgerekend:

$D={\begin{vmatrix}2&3\\1&-5\end{vmatrix}}=2*(-5)-3*1=-10-3=-13$

U ziet dat de twee diagonalen van de determinaten vermenigvuldigd zijn en vervolgens van elkaar af getrokken.

Echter, we wilden de waarden van x en y weten. Daarvoor moeten we nog twee kleine 'determinanten' berekenen: