Lineaire algebra/Matrix als afbeelding

Matrices als afbeeldingen

Een matrix kan beschouwd worden als een (lineaire) afbeelding die een vector uit de ene ruimte afbeeldt in dezelfde of een andere ruimte. Vierkante matrices kunnen goed opgevat worden als lineaire transformaties van een ruimte. Daartoe worden de kolommen van de matrix als beelden opgevat van de zogenaamde eenheidsvectoren, de vectoren met op een 1 na allemaal nullen als kentallen. Zo is:

$A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&3\\1&0&1\end{bmatrix}}$

op te vatten als de afbeelding die de vector (1,0,0) afbeeldt op (1,0,1), de vector (0,1,0) op (0,1,0) en (0,0,1) op (2,3,1). We kunnen dit noteren als:

$A(1,0,0)=(1,0,1),\ A(0,1,0)=(0,1,0),\ A(0,0,1)=(2,3,1)$

Het beeld van een andere vector, zeg (1,2,3) kunnen we dan als volgt bepalen:

$A(1,2,3)=A((1,0,0)+2(0,1,0)+3(0,0,1))=A(1,0,0)+2A(0,1,0)+3A(0,0,1)=(1,0,1)+2(0,1,0)+3(2,3,1)=(7,11,4)$

Deze berekening kan kort opgeschreven worden als:

$A(1,2,3)={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&3\\1&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}+2{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}+3{\begin{bmatrix}2\\3\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7\\11\\4\end{bmatrix}}$

Men noemt een dergelijke berekening een matrixvermenigvuldiging.

2. Draaiing om de oorsprong

Het is ook mogelijk om met een bepaalde functie een draaiing om de oorsprong te creëren. De afbeeldingsmatrix moet dan zo gekozen worden dat zij de vector (het origneel) de betreffende draaiing meegeeft.

Neem bijvoorbeeld de afbeeldingsmatrix: ${\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$. Bij elk willekeurig origineel zal het beeld altijd een draaiing om de oorsprong maken van $1/2\pi$. Oftewel, 90 graden.

Ook is het mogelijk andersom te werken. Stel we willen een afbeeldingsmatrix opstellen, zo dat het beeld een draaiing van $\pi$ om de oorsprong maakt. Hiervoor gebruiken we de twee eenheidsvectoren om tot de juiste afbeeldingsmatrix te komen.

Dan moet ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ na een draaiing van 180 graden ${\begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix}}$ worden.

Dan moet ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ na een draaiing van 180 graden ${\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}$ worden.

Deze twee oplossingen mag men dan 'aan elkaar plakken' om zo tot de oplossing te komen. Ook is het mogelijk er een stelsel van te maken (met daarin de afbeeldingsmatrix als onbekende) en door middel van een berekening tot de juiste afbeeldingsmatrix te komen.

De afbeeldingsmatrix om het origineel een draaiing van 180 graden te laten maken is dus: ${\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$.

3. Andere functies

De wijze waarop bij paragraaf 2 de juiste afbeeldingsmatrix wordt verkregen is natuurlijk ook goed mogelijk bij andere type functies. Zo kun je bijvoorbeeld ook een spiegeling of een loodrechte projectie creëren.