Lineaire algebra/Inleiding lineaire omhulsels

Deze pagina gaat over het begrip 'lineaire omhulsels'. Deze pagina is een vervolg op hoofdstuk 1, lineaire combinaties.

Er wordt in enkele teksten gebruik gemaakt van de schrijfwijze [2,1]^T, dt betekent niet meer dan ${\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}$.

Lineair omhulsel?

1. Wat is een lineair omhulsel

Een lineaire omhulsel is een verzameling van alle lineaire combinaties.

2. Voorbeeld van een lineair omhulsel

Neem vector $A:{\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}$. Wat is het lineair omhulsul van vector A?

De lineaire combinaties van vector A: [0,0,0]^T zijn de vectoren $k*{\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}},k\in \mathbb {R}$.

Het lineair omhulsul is dus: $L({\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}})=$ { $k*{\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}$ $|k\in \mathbb {R}$}

Lineaire omhulsels in $\mathbb {R} ^{2}$

In $R^{2}>$ zijn er drie type lineaire omhulsels mogelijk. En lineair omhulsel dat de oorsprong beschrijft, dat een lijn beschrijft en de hele ruimte $\mathbb {R} ^{2}$.

1. De oorsprong

De oorsprong is het enige punt dat door een lineair omhulsel kan worden beschreven. Het bevat dan ook slechts één vector, de nulvector.

$L:({\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}})=$ { ${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$ }

2. Een lijn (door de oorsprong)

Deze verzameling vloeit bijvoorbeeld uit één enkele vector waaruit de betreffende combinaties worden bepaald. Zoals bijvoorbeeld bij de vector [4,-6]^T.

$L:({\begin{bmatrix}4\\-6\end{bmatrix}})=$ { $k*{\begin{bmatrix}4\\-6\end{bmatrix}}|k\in \mathbb {R}$ }

3. De ruimte $R^{3}$

De ruimte $R^{3}$ is op te spannen met de twee eenheidsvectoren (e₁ en e₂)

$L:({\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}})=$ { $k*{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}+l*{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ }

Lineaire omhulsels in $\mathbb {R} ^{3}$

In $R^{3}$ zijn er vier type lineaire omhulsels mogelijk. En lineair omhulsel dat de oorsprong beschrijft, dat een lijn beschrijft, een vlak beschrijft of de hele ruimte $\mathbb {R} ^{3}$ beschrijft.

1. De oorsprong Hiervoor geldt hetzelde als in $R^{2}$: De oorsprong is het enige punt dat door een lineair omhulsel kan worden beschreven. Het bevat dan ook slechts één vector, de nulvector.

$L:({\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}})=$ { ${\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}$ }

2. Een lijn (door de oorsprong)

Deze verzameling vloeit bijvoorbeeld uit één enkele vector waaruit de betreffende combinaties worden bepaald. Zoals bijvoorbeeld bij de vector [4,1,-6]^T.

$L:({\begin{bmatrix}4\\1\\-6\end{bmatrix}})=$ { $k*{\begin{bmatrix}4\\1\\-6\end{bmatrix}}|k\in \mathbb {R}$ }

3. Een vlak (door de oorsprong)

Deze verzameling is een verzameling van twee vectoren (onderling onafhankelijk) die samen een vlak in $R^{3}$ opspannen. Zoals bijvoorbeeld de vectoren [3,2,1]^T en [-8,-1,10]^T.

$L:({\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}-8\\-1\\10\end{bmatrix}})=$ { $k*{\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}}+l*{\begin{bmatrix}-8\\-1\\10\end{bmatrix}}|k,l\in \mathbb {R}$ }

4. De ruimte $\mathbb {R} ^{3}$

De ruimte $\mathbb {R} ^{3}$ is op te spannen door middel van de drie eenheidsvectoren:

$L:({\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}})=$ { $k*{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}+l*{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}+m*{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}|k,l,m\in \mathbb {R}$ }