Lineaire algebra/Duale afbeelding

Als L een lineaire afbeelding is van de lineaire ruimte V in de lineaire ruimte W, beide over hetzelfde lichaam, dan wordt door L op natuurlijke wijze een lineaire afbeelding L* geïnduceerd van de duale ruimte van W in de duale ruimte van V. Deze afbeelding heet de duale afbeelding van L.

Definitie 17.1

Zij $L:V\to W$ een lineaire afbeelding van de lineaire ruimte V in de lineaire ruimte W, beide over het lichaam K. De afbeelding $L^{*}:W^{*}\to V^{*}$ gedefinieerd door

$L^{*}(x)=x\circ L,$

heet de duale afbeeldig van L.

Stelling 17.1

De duale afbeelding L* van de lineaire afbeelding $L:V\to W$ is lineair.

Bewijs

Voor x en y ∈ W*, en λ ∈ K geldt:

$L^{*}(\lambda x+y)=(\lambda x+y)\circ L=\lambda x\circ L+y\circ L=\lambda L^{*}(x)+L^{*}(y).$

Matrix van de duale afbeelding

Vanwege de samenhang tussen een lineaire afbeelding en zijn duale, mogen we verwachten dat er een verband is tussen de matrices van beide. Mits natuurlijk de verschillende bases ook elkaars duale zijn. De matrices blijken elkaars getransoponeerden te zijn. Dit is waarschijnlijk een veel eenvoudiger verband dan men zou verwachten. De duale afbeelding wordt bijgevolg ook vaak de getransponeerde afbeelding genoemd.

Stelling 17.2

De matrices van een lineaire afbeelding en z'n duale t.o.v. de duale bases, zijn elkaars getransponeerden.

Bewijs

Laat $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ en $(w_{1},\ldots ,w_{m})$ bases zijn van resp. V en W, en noem $\!A=(a_{rk})$ de matrix van L t.o.v. deze basis. Dan geldt dus:

$L(v_{r})=\sum _{k=1}^{m}a_{rk}w_{k}$

Voor de matrix $\!B=(b_{kr})$ van L* t.o.v. de duale bases geldt:

$L^{*}(w_{k}^{*})=\sum _{r=1}^{n}b_{kr}v_{r}^{*}.$

Nu geldt enerzijds voor het k-de element $w_{k}^{*}$ van de duale basis:

$w_{k}^{*}\left(L(v_{r})\right)=w_{k}^{*}\left(\sum _{j=1}^{m}a_{rj}w_{j}\right)=\sum _{j=1}^{m}a_{rj}w_{k}^{*}(w_{j})=\sum _{j=1}^{m}a_{rj}\delta _{kj}=a_{rk},$

en anderzijds:

$w_{k}^{*}\left(L(v_{r})\right)=\left(L^{*}(w_{k}^{*})\right)(v_{r})=\sum _{i=1}^{n}b_{ki}v_{i}^{*}(v_{r})=\sum _{i=1}^{n}b_{ki}\delta _{ir}=b_{kr}.$

We zien dus dat $\!a_{rk}=b_{kr}$ en dus dat A en B elkaars getrasponeerden zijn: $A=B^{T}$.

Biduale ruimte

TODO: Biduale ruimte is isomorf met de oorspronkelijke ruimte