Fysica/Mechanica

Als je een voorwerp los laat, valt het naar beneden. Dat weet iedereen. Hoe komt dat? Doordat de zwaartekracht van de aarde werkt op alle voorwerpen die je om je heen ziet. Maar hoe snel valt het?

Over die vraag hebben geleerden eeuwenlang nagedacht. Pas na de middeleeuwen kwam Galileo Galileï met het begin van de oplossing. En het was Isaac Newton, die er als eerste in slaagde de wetten van de mechanica te ontdekken. Ook vandaag de dag werken we nog steeds met deze "Bewegingswetten van Newton".

Meestal ligt een voorwerp gewoon stil. Hoe zou je het zelf in beweging zetten? Er zijn twee manieren: Trekken of duwen. De zwaartekracht heeft, wat dat betreft, een duidelijke keuze gemaakt: Hij trekt!

Maar of je nou trekt of duwt, natuurkundigen zeggen dat je een kracht op het voorwerp uitoefent. Daar gaat het om. Dat inzicht is te danken aan Isaac Newton en daarom is ook de eenheid van kracht naar hem genoemd: Newton

Onze vraag is dus: Hoe snel valt een voorwerp? Maar Galileï ontdekte al, dat voorwerpen niet met een constante snelheid vallen! Hoe langer ze vallen, hoe sneller ze gaan. Galileï woonde in Pisa en hij beklom dan ook vaak de toren van Pisa om voorwerpen naar beneden te gooien en te kijken, wat ermee gebeurde.

Maar dat was niet zo praktisch. De dingen die hij naar beneden gooide lagen al heel snel op de grond en het was van bovenaf ook moeilijk te zien, wat er onderweg precies gebeurde. Daarom bouwde hij een soort knikkerbaan in zijn huiskamer. Daarmee kon hij dezelfde gebeurtenissen in een soort 'slow motion' bekijken. Hij zag dat de knikker in de eerste seconde 1 meter rolde, in de tweede seconde 3 meter en in de derde seconde 5 meter. Waarschijnlijk heeft hij zijn experimenten toen voortgezet in de tuin of op zolder, maar in elk geval ontdekte hij, dat de knikker in de vierde seconde 7 meter aflegde.

Het patroon is duidelijk: "Elke volgende seconde legt de knikker een afstand af, die evenredig is met het volgende oneven getal." Als we dieper zijn ingegaan op het werk van Newton, zullen we begrijpen hoe dat komt.

Het voorwerp wordt dus versneld, doordat er een kracht op wordt uitgeoefend. Newton ondekte de verbazend simpele formule, waarmee je kunt uitrekenen hoeveel het voorwerp versneld wordt:

F = M.A

In woorden: "Kracht (F) is gelijk aan massa (m) maal versnelling (a)."

De formule is simpel, maar wat wordt ermee bedoeld? Om te beginnen moeten we begrijpen waar we het over hebben: Kracht, massa en versnelling.

Kracht is niet zo moeilijk te begrijpen: Het geeft aan hoe hard je tegen een voorwerp duwt, of er aan trekt. Dat wordt dus gemeten in Newton, afgekort N.

Massa zegt iets over hoe zwaar een voorwerp is. Maar dat is al een stuk minder gemakkelijk te begrijpen. Je kunt een voorwerp op de weegschaal leggen en dan zie je hoeveel het 'weegt'. Het lijkt simpel, maar als je je weegschaal meeneemt naar de maan ligt het er maar aan wat voor soort weegschaal je gebruikt, hoeveel hetzelfde voorwerp daar 'weegt'.

De meeste weegschalen werken tegenwoordig met een veer. Hoe zwaarder het voorwerp, dat op de schaal wordt gelegd, hoe verder de veer wordt uitgerekt. Als jouw weegschaal ook zo werkt zul je zien dat een voorwerp, dat op aarde 6 kilo weegt, op de maan opeens maar 1 kilo lijkt te wegen! Is je weegschaal daarentegen een ouderwetse balans, dan moet je op de andere schaal nog steeds dezelfde gewichten neerleggen als op aarde. Met deze weegschaal lijkt het voorwerp dus ook op de maan 6 kilo te wegen! Welke weegschaal heeft nou gelijk?

De ouderwetse balans heeft gelijk! De massa van een voorwerp is altijd hetzelfde. Dat de massa op de maan kleiner lijkt, komt doordat de aantrekkingskracht van de maan kleiner is dan die van de aarde. Een weegschaal met een veer wordt daardoor gefopt, maar een balans niet, doordat het effect net zo werkt op het voorwerp dat je wilt wegen als op de gewichten die je op de andere schaal zet. De massa wordt gemeten in kilogram, afgekort kg.

Versnelling is het moeilijkste van deze drie begrippen. Galileï had al ontdekt, dat snelheid van een vallend voorwerp voortdurend toeneemt. Als de snelheid toeneemt spreken we van een versnelling, maar het is moeilijk om die te meten. Het is zelfs moeilijk om de snelheid van een voorwerp op een bepaald moment te meten. Galileï's knikker rolde in de eerste seconde 1 meter. Maar betekent dat dat de knikker een snelheid had van 1 meter per seconde (afgekort 1 m/s)? Nee, niet precies. 1 m/s is alleen maar de gemiddelde snelheid in de eerste seconde. De snelheid verandert voortdurend en dat maakt het zo lastig om hem te meten.

Als je bijvoorbeeld de snelheid van een auto wilt meten, dan kun je dat doen door twee punten te kiezen op de route waar de auto langskomt. Je noteert hoe laat de auto op punt A is en hoe laat hij op punt B is. De gemiddelde snelheid over dat traject is de afstand tussen de twee punten, gedeeld door de tijd, die de auto er over doet. Maar we willen geen gemiddelde snelheid weten! We willen precies weten, hoe snel de auto reed om half twee 's middags. En dat is niet op deze manier te meten! We meten altijd het gemiddelde over een traject, nooit de snelheid op een bepaald moment.

Galileï zag dit wel, maar hij kon het probleem niet oplossen. Newton loste het wel op en daarmee droeg hij niet alleen bij aan onze kennis over de natuurkunde, maar ook aan die over de wiskunde!

Afgelegde weg van een knikker, 1 meting per seconde

Hier zie je de meetresultaten van Galileï in een grafiek uitgezet. Horizontaal is de tijd uitgezet en verticaal de totale afgelegde afstand. Je ziet dat de grafiek elke seconde een knik heeft. Zo is het in werkelijkheid natuurlijk niet, de snelheid van de knikker verandert de hele tijd, niet 1x per seconde. Dat het er zo uit ziet, komt alleen doordat we maar een paar meetpunten hebben en die met rechte lijnen met elkaar hebben verbonden.

De helling (of "Richtingscoëfficiënt") van de lijnstukken komt overeen met de gemiddelde snelheid van de knikker op dat stuk van het traject. Tussen t=0 en t=1 is de gemiddelde snelheid 1 m/s en de lijn heeft een richtingscoëfficiënt van 1. Tussen t=1 en t=2 is de gemiddelde snelheid 3 m/s en de richtingscoëfficiënt is 3. Tussen t=2 en t=3 zijn ze beide gelijk aan 5 enzovoort. Dat zijn dus inderdaad die opeenvolgende oneven getallen, die Galileï had ontdekt.

Maar je kunt aan de knikken duidelijk zien, dat deze lijn geen goede weergave is, van wat er in werkelijkheid gebeurt.

Afgelegde weg van een knikker, 2 metingen per seconde

Als we meer meetpunten gebruiken, gaat de lijn er wel vloeiender uitzien. Bij t=0,5 blijkt de knikker nog maar 25 cm afgelegd te hebben. Bij t=1,5 is de totaal afgelegde afstand 2,25 m en bij t=2,5 is de totale afstand 6,25 m. Hiernaast is het resultaat afgebeeld, dat we krijgen als we deze extra meetpunten gebruiken.

Maar waar zijn nu de oneven getallen van Galileï gebleven? Ze zijn er nog steeds! Dat is gemakkelijk te zien, als we de afgelegde afstand in elke halve seconde niet weergeven in decimale notatie, maar als breuken. We krijgen dan: 1/4, 3/4, 5/4, 7/4, 9/4, 11/4...

Er zijn ook nog steeds knikken te zien, vooral in de eerste seconde. We zouden nog meer meetpunten kunnen gebruiken, maar het wordt wel erg moeilijk om dat met de hand te meten.

En er is nog een probleem: De lijn ziet er vloeiender uit, maar hij bestaat nog steeds uit rechte lijnstukken en knikken. Er zijn nu zelfs nog meer knikken, dan in de eerste grafiek. Ze vallen alleen wat minder op. Je kunt nog verder gaan, door bijvoorbeeld elke kwart seconde een meting te doen enzovoort... Maar het blijven rechte lijnstukjes. En steeds meer knikken!

En dat is nu het probleem, dat Newton heeft opgelost. Hij bedacht een methode om de lijn op te delen in oneindig veel, oneindige kleine stukjes. Ja, dan zijn er ook oneindig veel knikken. En dat is precies de bedoeling! Een lijn met oneindig veel knikken is overal geknikt. Met andere woorden, het is een kromme lijn! En dat klopt ook met de werkelijkheid.

Ik denk, dat oplettende lezers in de grafiek allang de parabool

s = t^2

hebben herkend. Die is niet zo moeilijk te tekenen. Maar het is inderdaad een kromme lijn. Je kunt er op elk punt je liniaal tegenaan leggen om een raaklijn te tekenen. De helling van je raaklijn geeft de snelheid weer van het voorwerp op dat moment. En dat is wat we willen weten.

Maar is dat ook uit te rekenen? Laten we met iets gemakkelijkers beginnen. Hoe rekenen we de gemiddelde afstand over een traject uit? Dat hebben we al eerder gedaan: We noteren hoe laat een auto twee punten, A en B, passeert. De gemiddelde snelheid was dan de afstand tussen de punten A en B gedeeld door het verschil tussen de twee genoteerde tijden. In formulevorm:

${\frac {s_{B}-s_{A}}{t_{B}-t_{A}}}$

Waarin $s_{A}$ de afstand is tussen het begin van de route tot punt A en $s_{B}$ de afstand van het begin van de route tot punt B. $t_{A}$ en $t_{B}$ stellen de momenten voor dat de auto respectievelijk punt A en punt B passeerde.

Als we de positie s schrijven als een functie $f(t)$ van de tijd, dan gaat dit er zo uit zien:

${\frac {f(t_{B})-f(t_{A})}{t_{B}-t_{A}}}$

Om deze formule wat overzichtelijker te maken, gebruiken we een hulpvariabele $h$, die het verschil aangeeft tussen de tijstippen $t_{A}$ en $t_{B}$, dus $h=t_{B}-t_{A}$. Dan wordt de formule:

${\frac {f(t_{A}+h)-f(t_{A})}{h}}$

Als we nu naar onze waarnemingen van de knikker kijken, dan kunnen we eens wat getallen invoeren en kijken of de formule werkt. Na een seconde had de knikker 1 meter afgelegd. dus $t_{A}=1$ en $s_{A}=1$ of $f(t_{A})=1$. Na twee seconden had de knikker in totaal 1+3=4 meter afgelegd. dus $t_{B}=2$ en $s_{B}=4$ of $f(t_{B})=4$ en omdat $h=t_{B}-t_{A}=2-1=1$ geldt ook $f(t_{A}+h)=4$!

${\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}={\frac {f(1+1)-f(1)}{1}}={\frac {4-1}{1}}=3$

Precies de drie meter, die de knikker in de tweede seconde rolde en dus precies de gemiddelde snelheid in die seconde. Het kan ook met kleinere stapjes. In de derde halve seconde, dus tussen $t_{A}=1$ en $t_{B}=1,5$ rolde de knikker van $s_{A}=1$ naar $s_{B}=2,25$. Als we dat invullen, krijgen we:

${\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}={\frac {f(1+0,5)-f(1)}{0,5}}={\frac {2,25-1}{0,5}}={\frac {1,25}{0,5}}=2,5$

Omdat we de vorm van de grafiek allang geraden hebben, hoeven we geen moeizame metingen meer te doen, we kunnen gewoon op elk tijdstip uitrekenen, waar de knikker zich bevindt volgens de formule:

$s=f(t)=t^{2}$

Zo kunnen we bijvoorbeeld uitrekenen, wat de uitkomst zou zijn bij een meting over de kwart seconde van t=1 tot t=1,25:

${\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}={\frac {f(1+0,25)-f(1)}{0,25}}={\frac {(1+0,25)^{2}-(1)^{2}}{0,25}}={\frac {1,5625-1}{0,25}}=2,25$

Door steeds kleinere waarden voor h te kiezen, bereken je de gemiddelde snelheid over een steeds korter deel van de afgelegde weg. Maar je kunt niet zomaar oneindig veel, oneindig kleine stapjes maken! Het zou betekenen, dat h gelijk aan nul wordt en als je dat invult, dat staat er:

${\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}={\frac {f(t+0)-f(t)}{0}}={\frac {0}{0}}$

Delen door nul mag niet! En als je dan ook nog eens nul door nul deelt, dan is de uitkomst echt niet te voorspellen. Newton had dat heel goed in de gaten. Maar hij was brutaal en hij dacht: "Laat ik maar eens kijken, hoever ik kan gaan." Hij wilde gaan tot het uiterste en dat noemde hij, als Engelsman "The limit". Hij schreef dat op in deze vorm:

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$

Je spreekt dat uit als "De limiet voor h nadert to nul van..." ...van dat wat er achter staat. Als we onze functie $s=f(t)=t^{2}$ als voorbeeld nemen, dan kunnen we proberen om dit uit te rekenen:

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(t+h)^{2}-t^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {t^{2}+2th+h^{2}-t^{2}}{h}}=...$

Boven de deelstreep kunnen we $t^{2}$ en $-t^{2}$ tegen elkaar wegstrepen:

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2th+h^{2}}{h}}=...$

Verder zien de boven en onder de deelstreep een gemeenschappelijke term $h$, die kunnen we ook wegstrepen:

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2th+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2t+h}{1}}=...$

Maar nu is het sommetje opeens niet moeilijk meer! We hoeven niet meer door $h$ te delen, dus we kunnen gewoon 0 voor h invullen!

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2t+h}{1}}={\frac {2t+0}{1}}=2t$

Geweldig! We kunnen nu de snelheid niet alleen uitrekenen op 1 punt, we kunnen de snelheid van het voorwerp op elk moment uitrekenen! We kunnen de snelheid nu ook schrijven als een functie van de tijd $v=v(t)=2t$

Wat we hier zojuist gedaan hebben is te danken aan het inzicht van Newton. Newton vond deze techniek uit, die bekend staat als differentiëren. En dat vergrootte niet alleen onze inzicht in vallende lichamen, maar ook ons inzicht in de Wiskunde!

Maar we zijn er nog steeds niet! De formule $F=ma$ ging over de versnelling van een voorwerp, niet over de snelheid. We hebben gezien, dat de gemiddelde snelheid van een voorwerp is uit te rekenen als de mate waarin het voorwerp van positie veranderd, gedeeld door de tijd, die het daarover doet. De snelheid op een bepaald moment rekenen we uit, door net te doen, alsof we de gemiddelde snelheid over een oneindig kort traject in een oneindigkorte tijd kunnen uitrekenen.

Nu is het nog maar een kleine stap van snelheid naar versnelling. De kunnen de gemiddelde versnelling definieren als de mate waarin een voorwerp van snelheid verandert, gedeeld door de tijd die het daar over doet. In formule:

${\frac {v_{B}-v_{A}}{t_{B}-t_{A}}}$

Waarin $v_{A}$ de snelheid is op punt A en $v_{B}$ de snelheid op punt B. $t_{A}$ en $t_{B}$ stellen weer de momenten voor dat het voorwerp respectievelijk punt A en punt B passeerde.

Dat lijkt ontzettend veel op de formule, die we vonden voor de gemiddelde snelheid. Natuurlijk willen we ook nu de versnelling op elk tijdstip weten, we zijn niet tevreden met een gemiddelde versnelling.

Daarom gaan we dezelfde truc opnieuw toepassen. We schrijven de snelheid als functie van de tijd: $v=v(t)$. We hadden al uitgerekend, dat voor de knikker geldt: $v(t)=2t$. Om de versnelling op elk moment te bepalen, gaan we weer differentieren:

$a=\lim _{h\to 0}{\frac {v(t+h)-v(t)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2(t+h)-2t}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2t+2h-2t}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2h}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2}{1}}=2$

Ja! Er komt gewoon 2 uit. De versnelling van deze knikker is overal hetzelfde. Vandaar, dat hij steeds harder gaat! Hij beweegt met een constante versnelling of, zoals natuurkundigen zeggen: "Het is een eenparig versnelde beweging."