Discrete Kansrekening/Simultane kansverdelingen/Functies van stochastische variabelen

5.4 Functies van stochastische variabelen

Als X een (discrete) stochastische variabele is, is ook de compositie Y = g$\circ$X van X en een functie g (meestal geschreven als g(X)) weer een s.v. We kunnen dat schematisch als volgt weergeven:

$S{\xrightarrow {\quad X\quad }}\mathbb {R} {\xrightarrow {\quad g\quad }}\mathbb {R}$

$S{\xrightarrow {\quad \quad Y=g\circ X\quad \quad }}\mathbb {R}$

Zo is bv. Y = (X-3)² een (discrete) stochastische variabele; immers Y(s) = (X(s)-3)² bepaalt weer een functie op de uitkomstenruimte S. Ook functies van de componenten X₁,X₂,...,X_n van een stochastische vector, bv. X₁ + X₂ - X₃ , 2(X₁ - X_n) zijn weer s.v.-en. In het voorgaande zijn we eigenlijk al zulke functies van s.v.-en tegengekomen. Bij het twee keer werpen van een dobbelsteen is het maximale ogenaantal Z van beide worpen te schrijven als Z = max(X,Y), waarin X en Y de ogenaantallen van respectievelijk de eerste en tweede worp waren. Algemeen geldt de volgende stelling.

Stelling 5.4.1
Laat X₁,X₂,...,X_n s.v.-en zijn op een kansruimte (S,P) en zij

$g:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R}$

voor zekere k ≤ n, dan is ook g(X₁,...,X_k) een s.v. op (S,P).

Hoe kunnen we uit de gegeven simultane kansverdeling van een n-tal s.v.-en X₁,X₂,...,X_n de verdeling van een functie g(X₁,X₂,...,Xk) van een k- tal van deze s.v.-en bepalen? Eigenlijk hebben we dit al gedaan, zoals uit het volgende voorbeeld blijkt.

Voorbeeld 1 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)
De simultane verdeling van het ogenaantal X van de eerste worp en van het ogenaantal Y van de tweede worp wordt voor elke x = 1,2,...,6 en y = 1,2,...,6 gegeven door: P(X=x en Y=y) = 1/36. De verdeling P(Z=z) van het totale ogenaantal Z = X + Y kunnen we als volgt bepalen; bv. voor z=5:

P(Z=5) = P(X=1 en Y=4 of X=2 en Y=3 of X=3 en Y=2 of X=4 en Y=1) =

= P(X=1 en Y=4) + P(X=2 en Y=3) + P(X=3 en Y=2) + P(X=4 en Y=1) =3/36.

Algemeen geldt:

Stelling 5.4.2
Laat X₁,...,X_k s.v.-en zijn op een kansruimte (S,P) en zij

$g:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R}$,

dan wordt de kansverdeling van Y = g(X₁,...,X_k) bepaald door:

$S_{Y}=\{g(x_{1},...,x_{k})|(x_{1},...,x_{k})\in S_{X}\}=\{g(x_{1}(s),...,x_{k}(s))|s\in S\}$,

en

$\,p_{Y}(y)=\sum _{\{y=g(x_{1},...,x_{k})\}}p_{X_{1},...,X_{k}}(x_{1},...,x_{k})$,

voor y ∈ S_Y.

Bewijs: We bewijzen alleen de tweede uitspraak; we stellen X = (X₁,...,X_k) en x = (x₁,...,x_k):

$\,p_{Y}(y)=P(g(X)=y)=\sum _{\{s:g(X(s))=y\}}p(s)=\sum _{\{x:g(x)=y\}}p_{X}(x).$

Opmerking 1
We kunnen ook g zelf opvatten als s.v. op de kansruimte (S_X,P_X) en de theorie van hoofdstuk 2 toepassen.

In het bijzonder zullen we kijken naar de som van twee s.v.-en X en Y (gedefinieerd op dezelfde kansruimte). De resultaten laten zich gemakkelijk generaliseren naar een n-tal, maar dat zullen we niet expliciet doen.

Stelling 5.4.3
Laat X en Y een simultane verdeling hebben, dan wordt de verdeling van X + Y voor

$z\in S_{X+Y}=\{x+y|x\in S_{X},y\ \in S_{Y}\}$

gegeven door de kansfunctie

$p_{X+Y}(z)=P(X+Y=z)=\sum _{x+y=z}p_{X,Y}(x,y)=\sum _{x\in S_{X}}p_{X,Y}(x,z-x)$.

Als X en Y o.o. zijn kunnen we nog schrijven:

$p_{X+Y}(z)=\sum _{x\in S_{X}}p_{X,Y}(x,z-x)=\sum _{x\in S_{X}}p_{X}(x)p_{Y}(z-x)$,

voor $z\in S_{X}+Y$

Anders geschreven:

$P(X+Y=z)=\sum _{x\in S_{X}}P(X=x)P(Y=z-x)$.

De beide laatste sommaties noemen we wel convolutiesommen en we duiden de verdeling p_X+Y van X+Y aan als de convolutie van p_X en p_Y.

Definitie 5.4.1
Onder de convolutie van twee kansfuncties p₁ en p₂, verstaan we de functie p₁* p₂, gedefinieerd door:

$\,(p_{1}*p_{2})(x)=\sum _{u}p_{1}(u)p_{2}(x-u).$.

Stelling 5.4.4
De convolutie p₁ * p₂ van twee kansfuncties p₁ en p₂ is zelf ook een kansfunctie.

We kunnen de verdeling van de som van twee onafhankelijke s.v.-en als volgt karakteriseren:

Stelling 5.4.5
Als X en Y onafhankelijke s.v.-en zijn, is de kansverdeling p_X+Y van hun som de convolutie van hun kansfuncties p_X en p_Y; dus p_X+Y = p_X * p_Y.

In de praktijk is de convolutiesom alleen van belang als er ook daadwerkelijk "convolutie" optreedt, dwz. als (p_X*p_Y)(z) niet slechts bepaald wordt door een of enkele toevallig van 0 verschillende summanden in de convolutiesom ∑ p_X(x)p₂(z-x). Daadwerkelijke convolutie doet zich bv. voor als X en Y geheelwaardige s.v.-en zijn. Overigens blijkt dan dat slechts in enkele bijzondere gevallen de convolutiesom te berekenen is.

We geven nu enkele voorbeelden van de berekening van de verdeling van functies van s.v.-en.

Voorbeeld 2
Zij X het ogenaantal bij een worp met een dobbelsteen en Y = (X-3)². In de volgende tabel staan de relevante grootheden die benodigd zijn om de verdeling van Y te bepalen.

$\quad x$	1	2	3	4	5	6	totaal
$P(X=x)$	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1
$y=(x-3)^{2}$	4	1	0	1	4	9

Daaruit lezen we af: S_Y = {0,1,4,9} en voor de kansfunctie van Y:

$y$	0	1	4	9	totaal
$P(Y=y)$	1/6	2/6	2/6	1/6	1

want bv. P(Y=4) = P(X=1 of X=5) = P(X=1) + P(X=5) = 2/6.

Voorbeeld 3 (multinomiale verdeling; vervolg)
We bekijken een multinomiale verdeling met parameters n, 4 en p₁,p₂,p₃ und p₄, en noemen de s.v.-en X, Y, Z en U. Wat is de verdeling van V = (X,Y,Z+U)?

$S_{V}=\{(x,y,z+u)|(x,y,z,u)\in S_{X,Y,Z,U}\}=\{(k,l,m)|k+l+m=n\}$

en

$p_{Y}(k,l,m)=\sum _{z+u=m}p_{X,Y,Z,U}(k,l,z,u)=\sum _{z+u=m}{\frac {n!}{k!l!z!u!}}p_{1}^{k}p_{2}^{l}p_{3}^{z}p_{4}^{u}=$

$={\frac {n!}{k!l!m!}}p_{1}^{k}p_{2}^{l}\sum _{z}{\frac {m!}{z!(m-z)!}}p_{3}^{z}p_{4}^{m-z}={\frac {n!}{k!l!m!}}p_{1}^{k}p_{2}^{l}(p_{3}+p_{4})^{m}$,

dus een multinomiale verdeling met parameters n, 3 en p₁,p₂,p₃+ p₄.

Voorbeeld 4
Laat X en Y o.o. zijn en beide binomiaal verdeeld met parameters resp. m en p en n en p. Dan vinden we voor de verdeling van X+Y:

S_X+Y = {x+y|x = 0,1,...,m en y = 0,1,...,n} = {0,1,...,m+n}

en

$p_{X+Y}(z)=(p_{X}*p_{Y})(z)=\sum _{x=0}^{m}p_{X}(x)p_{Y}(z-x)=$

$=\sum _{x=0}^{m}{\tbinom {m}{x}}p^{x}(1-p)^{m-x}{\tbinom {n}{z-x}}p^{z-x}(1-p)^{n-z+x}=$

$=p^{z}(1-p)^{m+n-z}\sum _{x=0}^{m}{\tbinom {m}{x}}{\tbinom {n}{z-x}}=$

$={\tbinom {n+m}{z}}p^{z}(1-p)^{m+n-z}.$

dus een binomiale verdeling met parameters m+n en p.

Als de s.v.-en X, Y en Z o.o. zijn, volgt automatisch dat ook bv. X+Y en Z² o.o. zijn. We formuleren deze eigenschap algemeen.

Stelling 5.4.6
Laat de s.v.-en X₁,X₂,...,X_n onderling onafhankelijk zijn en zij g: R^k → R voor zekere k ≤ n, dan zijn ook g(X₁,...,X_k), X_k+1,...,X_n o.o.

Voorbeeld 5 (drie worpen met een dobbelsteen)
We beschrijven het experiment door de o.o. s.v.-en X,Y en U, die de ogenaantallen van resp. de eerste, tweede en derde worp voorstellen. De simultane verdeling wordt dus gegeven door P(X=x en Y=y en U=u) = 1/216 voor x,y,u = 1,2,...,6.

We mogen nu concluderen dat bv. de som X + Y van de ogenaantallen van de eerste twee worpen onafhankelijk is het aantal ogen U bij de derde worp. Ook zijn bv. X en max(Y,U) o.o.