Discrete Kansrekening/Simultane kansverdelingen/Functies van stochastische variabelen

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

5.4 Functies van stochastische variabelen[bewerken]

Als X een (discrete) stochastische variabele is, is ook de compositie Y = gX van X en een functie g (meestal geschreven als g(X)) weer een s.v. We kunnen dat schematisch als volgt weergeven:

Zo is bv. Y = (X-3)2 een (discrete) stochastische variabele; immers Y(s) = (X(s)-3)2 bepaalt weer een functie op de uitkomstenruimte S. Ook functies van de componenten X1,X2,...,Xn van een stochastische vector, bv. X1 + X2 - X3 , 2(X1 - Xn) zijn weer s.v.-en. In het voorgaande zijn we eigenlijk al zulke functies van s.v.-en tegengekomen. Bij het twee keer werpen van een dobbelsteen is het maximale ogenaantal Z van beide worpen te schrijven als Z = max(X,Y), waarin X en Y de ogenaantallen van respectievelijk de eerste en tweede worp waren. Algemeen geldt de volgende stelling.

Stelling 5.4.1
Laat X1,X2,...,Xn s.v.-en zijn op een kansruimte (S,P) en zij

voor zekere k ≤ n, dan is ook g(X1,...,Xk) een s.v. op (S,P).

Hoe kunnen we uit de gegeven simultane kansverdeling van een n-tal s.v.-en X1,X2,...,Xn de verdeling van een functie g(X1,X2,...,Xk) van een k- tal van deze s.v.-en bepalen? Eigenlijk hebben we dit al gedaan, zoals uit het volgende voorbeeld blijkt.

Voorbeeld 1 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)
De simultane verdeling van het ogenaantal X van de eerste worp en van het ogenaantal Y van de tweede worp wordt voor elke x = 1,2,...,6 en y = 1,2,...,6 gegeven door: P(X=x en Y=y) = 1/36. De verdeling P(Z=z) van het totale ogenaantal Z = X + Y kunnen we als volgt bepalen; bv. voor z=5:

P(Z=5) = P(X=1 en Y=4 of X=2 en Y=3 of X=3 en Y=2 of X=4 en Y=1) =
= P(X=1 en Y=4) + P(X=2 en Y=3) + P(X=3 en Y=2) + P(X=4 en Y=1) =3/36.

Algemeen geldt:

Stelling 5.4.2
Laat X1,...,Xk s.v.-en zijn op een kansruimte (S,P) en zij

,

dan wordt de kansverdeling van Y = g(X1,...,Xk) bepaald door:

,

en

,

voor y ∈ SY.

Bewijs: We bewijzen alleen de tweede uitspraak; we stellen X = (X1,...,Xk) en x = (x1,...,xk):

Opmerking 1
We kunnen ook g zelf opvatten als s.v. op de kansruimte (SX,PX) en de theorie van hoofdstuk 2 toepassen.

In het bijzonder zullen we kijken naar de som van twee s.v.-en X en Y (gedefinieerd op dezelfde kansruimte). De resultaten laten zich gemakkelijk generaliseren naar een n-tal, maar dat zullen we niet expliciet doen.


Stelling 5.4.3
Laat X en Y een simultane verdeling hebben, dan wordt de verdeling van X + Y voor

gegeven door de kansfunctie

.

Als X en Y o.o. zijn kunnen we nog schrijven:

,

voor

Anders geschreven:

.

De beide laatste sommaties noemen we wel convolutiesommen en we duiden de verdeling pX+Y van X+Y aan als de convolutie van pX en pY.

Definitie 5.4.1
Onder de convolutie van twee kansfuncties p1 en p2, verstaan we de functie p1* p2, gedefinieerd door:

.

Stelling 5.4.4
De convolutie p1 * p2 van twee kansfuncties p1 en p2 is zelf ook een kansfunctie.

We kunnen de verdeling van de som van twee onafhankelijke s.v.-en als volgt karakteriseren:

Stelling 5.4.5
Als X en Y onafhankelijke s.v.-en zijn, is de kansverdeling pX+Y van hun som de convolutie van hun kansfuncties pX en pY; dus pX+Y = pX * pY.

In de praktijk is de convolutiesom alleen van belang als er ook daadwerkelijk "convolutie" optreedt, dwz. als (pX*pY)(z) niet slechts bepaald wordt door een of enkele toevallig van 0 verschillende summanden in de convolutiesom ∑ pX(x)p2(z-x). Daadwerkelijke convolutie doet zich bv. voor als X en Y geheelwaardige s.v.-en zijn. Overigens blijkt dan dat slechts in enkele bijzondere gevallen de convolutiesom te berekenen is.

We geven nu enkele voorbeelden van de berekening van de verdeling van functies van s.v.-en.

Voorbeeld 2
Zij X het ogenaantal bij een worp met een dobbelsteen en Y = (X-3)2. In de volgende tabel staan de relevante grootheden die benodigd zijn om de verdeling van Y te bepalen.

1 2 3 4 5 6 totaal
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
4 1 0 1 4 9

Daaruit lezen we af: SY = {0,1,4,9} en voor de kansfunctie van Y:

0 1 4 9 totaal
1/6 2/6 2/6 1/6 1

want bv. P(Y=4) = P(X=1 of X=5) = P(X=1) + P(X=5) = 2/6.

Voorbeeld 3 (multinomiale verdeling; vervolg)
We bekijken een multinomiale verdeling met parameters n, 4 en p1,p2,p3 und p4, en noemen de s.v.-en X, Y, Z en U. Wat is de verdeling van V = (X,Y,Z+U)?

en

,

dus een multinomiale verdeling met parameters n, 3 en p1,p2,p3+ p4.

Voorbeeld 4
Laat X en Y o.o. zijn en beide binomiaal verdeeld met parameters resp. m en p en n en p. Dan vinden we voor de verdeling van X+Y:

SX+Y = {x+y|x = 0,1,...,m en y = 0,1,...,n} = {0,1,...,m+n}

en

dus een binomiale verdeling met parameters m+n en p.

Als de s.v.-en X, Y en Z o.o. zijn, volgt automatisch dat ook bv. X+Y en Z2 o.o. zijn. We formuleren deze eigenschap algemeen.

Stelling 5.4.6
Laat de s.v.-en X1,X2,...,Xn onderling onafhankelijk zijn en zij g: Rk → R voor zekere k ≤ n, dan zijn ook g(X1,...,Xk), Xk+1,...,Xn o.o.

Voorbeeld 5 (drie worpen met een dobbelsteen)
We beschrijven het experiment door de o.o. s.v.-en X,Y en U, die de ogenaantallen van resp. de eerste, tweede en derde worp voorstellen. De simultane verdeling wordt dus gegeven door P(X=x en Y=y en U=u) = 1/216 voor x,y,u = 1,2,...,6.

We mogen nu concluderen dat bv. de som X + Y van de ogenaantallen van de eerste twee worpen onafhankelijk is het aantal ogen U bij de derde worp. Ook zijn bv. X en max(Y,U) o.o.

 

Heckert GNU.png Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.