Discrete Kansrekening/Basisbegrippen/Kans

Uit Wikibooks

1.3 Kans

In 1933 legde de Russische wiskundige A. N. Kolmogorov (1903-1987) in zijn boekje "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" de basis voor de moderne kansrekening. Hierdoor kwamen de in de vorige paragrafen genoemde beperkingen te vervallen. Bij deze aanpak is een willekeurige (niet-lege) verzameling als uitkomstenruimte toegestaan. Zo is bv. de verzameling van alle reële getallen toegestaan, waardoor het o.a. mogelijk is dat er oneindig veel verschillende gebeurtenissen zijn. Voor de elementaire gebeurtenissen is niet meer vereist dat ze alle "gelijkelijk mogelijk" zijn. Kolmogorov poneerde drie axioma's waaraan een kans moet voldoen. Deze drie axioma's zijn het analogon van de eigenschappen 1.2.1.a - c uit paragraaf 2, waaraan het frequentiequotiënt zowel als de kans volgens Laplace voldoet.

Definitie 1.3.1 (axioma's van Kolmogorov)

Zij een willekeurige uitkomstenruimte. Een functie die aan elke gebeurtenis een reëel getal toevoegt, noemen we een kans op , als voldoet aan de volgende eisen:

(a) voor elke gebeurtenis ;
(b) ;
(c) voor elke aftelbaar oneindige rij disjuncte gebeurtenissen geldt:


Op deze drie rekenregels voor kansen berust de gehele kansrekening!

Opmerking

De axioma's van Kolmogorov zijn van toepassing op willekeurige uitkomstenruimten. In dit boek zullen we ons echter alleen met discrete uitkomstenruimten bezighouden.


In de vorige paragraaf hebben we al opgemerkt dat een kans volgens de definitie van Laplace voldoet aan de axioma's en dus terecht de naam kans verdient. Op welke andere manieren kunnen we nu een kans construeren? Voor discrete uitkomstenruimten kunnen we op natuurlijke wijze de kans op een elementaire gebeurtenis vastleggen door de kansfunctie .

Definitie 1.3.2

Zij een willekeurige (discrete) uitkomstenruimte. Een functie die aan iedere uitkomst een getal , dat we ook kans op noemen, toevoegt, heet kansfunctie als:

en

We kunnen nu bij een kansfunctie een kans definiëren, door de kans op een gebeurtenis te berekenen als de som van de kansen op de uitkomsten die tot die gebeurtenis behoren. Dat zo inderdaad een kans gedefinieerd is blijkt uit de volgende stelling.

Stelling 1.3.1

Als een kansfunctie is op de uitkomstenruimte , is de functie , gedefinieerd voor iedere gebeurtenis door:

een kans op .


Bij iedere kansfunctie op een discrete uitkomstenruimte hoort dus een kans op . Omgekeerd hoort bij iedere kans op een discrete uitkomstenruimte een kansfunctie op .

Stelling 1.3.2

Als P een kans is op de uitkomstenruimte , dan is de functie gedefinieerd door:

een kansfunctie.


Uit het voorgaande blijkt dus dat kansen en kansfuncties op een-eenduidige wijze bij elkaar horen.

Definitie 1.3.3

Zij een uitkomstenruimte en een kans op , dan noemen we het paar een kansruimte. Ook het paar , waarin de bij behorende kansfunctie is, zullen we als kansruimte aanduiden.


Voorbeeld 1 (alternatief; vervolg)

De uitkomstenruimte is . We geven een willekeurige kansfunctie aan door , met . Er zijn maar vier gebeurtenissen; de bij behorende kans kent daaraan de volgende kansen toe: . We kunnen de kansruimte ook in een tabel geven:

1

Voorbeeld 2 (zuivere dobbelsteen; vervolg)

De uitkomstenruimte is . Voor een zuivere dobbelsteen is de kans op elke uitkomst gelijk, dus . De bijbehorende kans is gedefinieerd volgens Laplace, dus is bv. voor de gebeurtenis (we gooien een even ogenaantal) en voor (we gooien minder dan 3). Als tabel ziet de kansruimte er als volgt uit:

1 2 3 4 5 6 totaal
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1

Voorbeeld 3 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)

De uitkomstenruimte is en voor een zuivere dobbelsteen zijn alle 36 uitkomsten even waarschijnlijk, dus is voor alle . De bijbehorende kans is weer gedefinieerd volgens Laplace; zo heeft de gebeurtenis (de som van de ogen van beide worpen is 4) een kans van optreden.


 

Wikipedia
Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.


Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.