Discrete Kansrekening/Basisbegrippen/Intuïtief kansbegrip

1.2 Intuitief kansbegrip

Om tot een kansbegrip te komen, bespreken we eerst een tweetal intuïtieve benaderingswijzen van het begrip kans. Als eerste baseren we ons op het ervaringsfeit dat, als een uitkomst in bv. 30% van een lange reeks waarnemingen optreedt, we dit getal van 30% als de kans van optreden van die uitkomst interpreteren (Von Mises, 1920). We beschouwen daartoe een experiment waarbij de gebeurtenis $A$ kan optreden. Voeren we het experiment $n$ maal uit, dan noemen we de fractie keren dat de gebeurtenis $A$ optreedt, het frequentiequotiënt van $A$ bij $n$ uitvoeringen van het experiment.

Definitie 1.2.1

Het frequentiequotiënt $\mathrm {fq} (A)$ van de gebeurtenis $A$ bij $n$ herhalingen van een experiment is de fractie malen dat $A$ optreedt, dus

$\mathrm {fq} (A)={\frac {N(A)}{n}}$;

daarin is $N(A)$ het aantal keren dat $A$ bij die $n$ herhalingen optreedt.

Voor vaste $n$ heeft het frequentiequotiënt de volgende eigenschappen.

Stelling 1.2.1 (eigenschappen van frequentiequotiënt)

Voor het frequentiequotiënt $\mathrm {fq} (A)$ van een gebeurtenis $A$ geldt:

(a) $\mathrm {fq} (A)\geq 0$

(b) $\mathrm {fq} (S)=1$

(c1) als $A$ en $B$ twee disjuncte gebeurtenissen zijn, is:

$\mathrm {fq} (A\cup B)=\mathrm {fq} (A)+\mathrm {fq} (B)$

(c2) algemeen geldt voor aftelbaar oneindig veel disjuncte gebeurtenissen $A_{1},A_{2},\ldots$ dat:

$\mathrm {fq} (\bigcup _{i=1}^{n}A_{i})=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {fq} (A_{i})$.

Voorbeeld 1

We doen het volgende experiment. We voeren achtereenvolgens 1000 worpen met een munt uit en noteren voor elke $n=1,2,3,\ldots ,1000$ de waarde van $\mathrm {fq} (A)$, waarbij $A$ de gebeurtenis "kruis komt boven" is. In figuur 1.2.1 staat de grafiek van $\mathrm {fq}$ getekend voor de eerste 35 worpen en in figuur 1.2.2 voor alle 1000 worpen.

Figuur 1.2.1 Diagram van $\mathrm {fq} (A)$ bij de eerste 35 worpen

Figuur 1.2.2 Diagram van $\mathrm {fq} (A)$ bij de eerste 1000 worpen

Uit figuur 1.2.1. zien we dat de uitkomsten van de eerste 35 worpen waren: KMKMM KKKMK MMKKM KMMMM KKKKK MKMKK KMKKK. Ook zien we dat de frequentiequotiënten in het begin (als $n$ nog klein is) vrij sterke schommelingen vertonen; echter als $n$ eenmaal vrij groot is, vertoont $\mathrm {fq} (A)$ niet veel variatie meer, zoals we kunnen zien in figuur 1.2.2. Het lijkt veeleer alsof $\mathrm {fq} (A)$ met toenemende $n$ tot een limietgetal nadert.

Wat we in het voorbeeld constateerden, is geen incidenteel verschijnsel; algemeen blijkt dat, wanneer we een zeer lange serie experimenten (van hetzelfde type) uitvoeren, van welke aard ook, de frequentiequotiënten op den duur steeds minder variëren en als het ware tot een limietgetal naderen. Dit experimenteel gevonden verschijnsel heet de experimentele wet van de grote aantallen.

Intuïtief correspondeert dit denkbeeldige limietgetal met de betekenis die we gewoonlijk aan het begrip kans hechten. Het geeft immers de fractie malen aan dat een gebeurtenis optreedt in een "oneindig lange" serie herhalingen van een experiment. Toch kunnen we op deze wijze niet het begrip kans invoeren, omdat we oneindig lange series experimenten nooit kunnen uitvoeren. We zullen later het begrip kans zo invoeren dat het de bovenstaande eigenschappen heeft.

Ook op andere wijze krijgen we een intuïtieve benadering van het kansbegrip. We laten dat zien aan het volgende voorbeeld.

Voorbeeld 2

We werpen een zuivere dobbelsteen (dwz. een exacte kubus, gemaakt van een homogeen materiaal en de 6 zijden voorzien van de ogenaantallen 1 tot en met 6, zonder de gewichtsverdeling te verstoren). Op grond van de (fysische) symmetrie van de dobbelsteen zeggen we dat elk van de mogelijke uitkomsten (ogenaantallen) 1 tot en met 6 gelijke kans van optreden heeft.

Definitie 1.2.2

Een experiment met een eindig aantal uitkomsten noemen we symmetrisch, als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn (dwz. als er geen voorkeur van optreden is voor een van de uitkomsten).

Het idee van symmetrie is wel geschikt voor een definitie van het begrip kans. Het werd geïntroduceerd door Laplace (1749-1827).

Definitie 1.2.3 (kansdefinitie van Laplace)

In een symmetrisch experiment wordt de kans op een gebeurtenis $A$ gegeven door de fractie voor $A$ gunstige (dwz. tot $A$ behorende) uitkomsten.

Voorbeeld 3

Voor een opiniepeiling wordt willekeurig een volwassen Nederlander uitgekozen uit de gehele bevolking. Omdat er willekeurig wordt gekozen, is er sprake van symmetrie. De kans dat de gekozen persoon uit Limburg komt, kunnen we dus berekenen als

${\frac {\mbox{aantal volwassen Limburgers}}{\mbox{aantal volwassen Nederlanders}}}$

Eenvoudig is in te zien dat de kans volgens Laplace voldoet aan de voor het frequentiequotiënt genoemde eigenschappen.

Stelling 1.2.2

De kans volgens Laplace voldoet aan de eigenschappen 1.2.1.a - c.

Toch heeft de kansdefinitie van Laplace twee ernstige beperkingen. De definitie veronderstelt een eindige uitkomstenruimte, terwijl we ook experimenten in onze beschouwingen willen betrekken waarbij de uitkomstenruimte oneindig veel elementen bevat. Bovendien, al telt de uitkomstenruimte van een experiment eindig veel elementen, de veronderstelling dat iedere elementaire gebeurtenis dezelfde kans heeft, sluit zeker niet altijd aan bij de realiteit. We zoeken daarom naar een definitie van het begrip kans die meer algemeen is.

Opmerking 1

De frequentie-interpretatie van kansen is gebaseerd op een lange rij herhalingen van het experiment. Het is daarbij niet nodig dat dergelijke herhalingen werkelijk uitgevoerd worden. We denken ons in dat het experiment een groot aantal malen herhaald zou worden. Maar ook met deze ruime opvatting is de idee van herhaalbaarheid nogal eens gewrongen.

Opmerking 2

Een arts vertelt een patiënt dat de slaagkans van een operatie 80% is. Wat moeten we ons bij een dergelijke uitspraak voorstellen? Allereerst zouden we moeten weten waar een dergelijke uitspraak op gebaseerd is. Vaak is een dergelijke uitspraak niet erg gefundeerd. Beschouwen we echter de uitspraak op zichzelf en stellen we ons op het standpunt van de arts dan is een frequentie-interpretatie zeer wel denkbaar. Als de arts de operatie vele malen uitvoert, slaagt de operatie in zo'n 8 van de 10 gevallen. Stellen we ons op het standpunt van de patiënt, dan lijkt een dergelijke interpretatie niet erg zinvol. De patiënt ondergaat de operatie niet vele malen. Het is meestal een eenmalige aangelegenheid. Om toch een beeld te vormen van de betekenis van die 80%, doen we het volgende gedachte-experiment. In een kamer staat een bak met 100 knikkers, 80 witte en 20 zwarte. Er wordt op goed geluk één knikker uit de bak getrokken. Is de knikker wit, dan slaagt de operatie; is de knikker zwart, dan mislukt de operatie. Helaas wordt ons niet verteld of er een witte dan wel een zwarte knikker getrokken is.

Met een dergelijk beeld in het achterhoofd groeit, naarmate we meer voorbeelden en toepassingen tegenkomen, de operationele betekenis van de intuïtieve interpretatie van het begrip kans.