Werk in uitvoering.
Dit hoofdstuk bevindt zich nog in de opbouwfase.
De auteur ervan heeft zich voorgenomen de genoemde onderwerpen verder uit te werken.
Indien u wilt bijdragen, overleg dan even met t.vanschaik

Meer onbekenden, inleiding

Bij het uitwerken van de opgaven op de vorige pagina heb je vast gemerkt dat het lastig is om geen fouten te maken. Vooral als er gewerkt moet worden met gebroken getallen, is de kans op een reken- of schrijffout groot. Ook het herhaald noteren van de onbekenden kan, als het er meer worden, aanleiding zijn tot verschrijvingen. Nu zijn wiskundige nogal lui aangelegd, wat je gemerkt kunt hebben in notaties als

3x

in plaats van

x\ +\ x\ +\ x

of

a^{3}

in plaats van

a\times a\times a

. Kijk je nog eens naar de set vergelijkingen uit het voorbeeld van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden. In de wiskunde kun je dat noteren zoals links gedaan is, in gewone vergelijkingen. Maar met een paar afspraken bevat de recher notatie precies dezelfde informatie:

{\begin{matrix}2x\ +\ 2y\ +\ 4z\ =\ 18\\2x\ +\ y\ +\ 3z\ =\ 13\\7x\ +\ 2y\ +\ 5z\ =\ 26\end{matrix}}

{\begin{bmatrix}2&2&4&18\\2&1&3&13\\7&2&5&26\end{bmatrix}}

matrix 1

De eerste kolom vermeld de coëfficiënten van de x-waarden.
De tweede kolom bevat de coëfficiënten van de y-waarden.
De derde kolom geeft de coëfficiënten van de z-waarden.
Als een coëfficiënt positief is staat er geen teken bij, is de coëfficiënt negatief dan wordt dit wel vermeld.
Voor meer onbekenden worden extra kolommen gebruikt.
De laatste kolom bevat de waarde achter het gelijkteken.

Een stelsel vergelijkingen dat op deze manier wordt weergegeven wordt een matrix genoemd. Dit is een matrix van 3 rijen en 4 kolommen. De blokhaken geven aan dat de groep getallen bij elkaar hoort.

Om te zien hoe dit kan helpen bij het oplossen van stelsels van vergelijkingen, staat hieronder matrix 2, samen met de vergelijkingen waar hij voor staat. $1x\ +\ 0y\ +\ 0z\ =\ getal_{1}$ . Er staat dus eigenlijk dat x gelijk is aan getal₁. Op dezelfde manier geeft rij 2 een waarde voor y en rij 3 een waarde voor z.

{\begin{matrix}1x\ +\ 0y\ +\ 0z\ =\ getal_{1}\\0x\ +\ 1y\ +\ 0z\ =\ getal_{2}\\0x\ +\ 0y\ +\ 1z\ =\ getal_{3}\end{matrix}}

{\begin{bmatrix}1&0&0&getal_{1}\\0&1&0&getal_{2}\\0&0&1&getal_{3}\end{bmatrix}}

matrix 2

Matrix

Om te voorkomen dat er lege kolommen zijn, wordt als er geen bijdrage van x, y of z is in die kolom een "0" genoteerd. De "1" moet gebruikt worden op de plekken waar in de gewone vergelijking alleen een onbekende wordt genoteerd.

De kunst is nu matrix 1 zo te bewerken dat uit matrix 1 matrix 2 ontstaat, met uiteraard in de laatste kolom echte getallen. Hier ga je gebruik maken van de regel die je ook bij het isoleren van onbekenden hebt gebruikt. Als je bij een vergelijking links en rechts van het gelijkteken hetzelfde doet, blijft de gelijkheidf waar. Dat betekent:

links en rechts hetzelfde optellen of aftrekken geeft de vergelijking misschien een andere waarde, maar de gelijlkheid blijft waar.
links en rechts met het zelfde getal vermenigvuldigen of delen verandert de waarde van de getallen in de vergelijking, maar de gelijkheid blijft waar.

Door de eerste vergelijking door 2, de coëfficiënt van "x", te delen krijgt de x-coëfficiënt in die vergelijking de waarde "1" die in de matrix als een "1" in de eerste rij en eerste kolom terugkomt (en andere getallen in de andere kolommen:

{\begin{matrix}1x\ +\ 1y\ +\ 2z\ =\ 9\\2x\ +\ y\ +\ 3z\ =\ 13\\7x\ +\ 2y\ +\ 5z\ =\ 26\end{matrix}}

{\begin{bmatrix}1&1&2&9\\2&1&3&13\\7&2&5&26\end{bmatrix}}

matrix 3

Normaal zul je de "1" voor de "x" en de "y" niet noteren, maar her maken ze de relatie met de matrix rechts duidelijk. In de volgende stap zorg je ervoor dat in kolm 1 op de andere rijen in matrix 3 een nul komt te staan. Dit doe je door vergelijking 1 twee maal van vergelijking 2 af te trekken en 7 keer van vergelijking 3. Je kunt ook zeggen: trek rij 1 tweemaal af van rij 2 en zevenmaal van rij 3.

${\begin{matrix}1x\ +\ 1y\ +\ 2z\ =\ 9\\2x\ +\ y\ +\ 3z\ -\ 2x\ -\ 2y\ -\ 4z=\ 13\ -\ 18\\7x\ +\ 2y\ +\ 5z\ -\ 7x\ -\ 7y\ -\ 14z\ =\ 26\ -\ 63\end{matrix}}$	${\begin{bmatrix}1&1&2&9\\2-2&1-2&3-4&13-18\\7-7&2-7&5-14&26-63\end{bmatrix}}$
${\begin{matrix}1x\ +\ 1y\ +\ 2z\ =\ 9\\0x\ -\ 1y\ -\ 1z\ =\ -5\\0x\ -\ 5y\ -\ 9z\ =\ -37\end{matrix}}$	${\begin{bmatrix}1&1&2&9\\0&-1&-1&-5\\0&-5&-9&-37\end{bmatrix}}$	Matrix 4

Wat de eerste kolom betreft in matrix 4 heb je nu de omzetting van het stelsel vergelijkingen naar de weergave in magrix 2 voor elkaar. Wat je gedaan hebt is:

Zorg dat in de eerste rij van de matrix in de eertse kolom een "1" staat. Je kunt ook zeggen: zorg dat in de eerste vergelijking de coëfficiënt voor de eerste onbekende "1" is.
Trek vervolgens in de andere vergelijkingen zoveel keer de eerste vergelijking af zodat in de andere vergelijkingen de coëfficiënt nul wordt. Optellen mag ook, zie hieronder.

Nu herhaal je deze stappen voor de tweede vergelijking, de tweede rij, en de coëfficiënt van de tweede variabele, de tweede kolom. Deel de tweede rij door "-1" om de tweede kolom in die rij op "1" te krijgen en trek vervolgens de tweede vergelijking (rij) één keer af van de eerste rij en tel rij 2 5 keer op bij de derde rij. Zonder tussenstappen ontstaat hiermee matrix 5.

{\begin{matrix}1x\ +\ 0y\ +\ 1z\ =\ 4\\0x\ +\ 1y\ +\ 1z\ =\ 5\\0x\ +\ 0y\ -\ 4z\ =\ -12\end{matrix}}

{\begin{bmatrix}1&0&1&4\\0&1&1&5\\0&0&-4&-12\end{bmatrix}}

Matrix 5

Daarmee is ook de tweede kolom (variabele) in de vorm van matrix 2. Als je nu rij 3 (de derde vergelijking) door "-4" deelt ontsaat in kolom 3 in de derde rij ook een "1" en kun je dan vergelijking 3 (rij 3) aftrekken van zowel rij 1 als rij 2.

{\begin{matrix}1x\ +\ 0y\ +\ 0z\ =\ 1\\0x\ +\ 1y\ +\ 0z\ =\ 2\\0x\ +\ 0y\ +\ 1z\ =\ 3\end{matrix}}\ \ \ \ \ \ \equiv \ \ \ \ \ \ {\begin{matrix}x\ =\ 1\\y\ =\ 2\\z\ =\ 3\end{matrix}}

{\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{bmatrix}}

Matrix 6

Het resultaat is uiteraard geen verassing, dat is gelijk aan dat wat je via de methode "doe als of je een onbekende al weet" gevonden hebt.

Het voorschrift voor de procedure is relatief eenvoudig:

Zorg door vermenigvuldigen of delen dat op de eerste rij in de eerste kolom de coëfficiënt "1" komt te staan.
Trek van alle rijen behalve rij 1 een veelvoud van rij 1 af zodat in alle rijen (behalve rij 1!) een "0" in de eerste kolom ontstaat.
Herhaal stap 1 en 2 voor elke rij (rij 2 en kolom 2; rij 3 en kolom 3, etc) zodat op de plek van de diagonaal van die rij een 1 ontstaat, en verder in die kolom alleen een "0" staat.

Deze manier van het oplossen van stelsels vergelijkingen is niet beperkt tot 3 onbekenden. Een vierde of vijfde onbekende betekent dat je vier of vijf vergelijkingen nodig hebt en dus ook een grotere matrix krijgt (4 rijen met 5 kolommen of 5 rijen met 6 kolommen), maar het principe blijft hetzelfde.

In de opgaven op de volgende pagina zijn de uitwerkingen via deze manier weergegeven.