Basiskennis chemie 4/Tweedegraads x2-a

---

---

Tweedegraads vergelijkingen

In een eerder hoofdstuk heb je al kennisgemaakt met het isoleren van een onbekende. In al die gevallen was er sprake van een onbekende tot de eerste macht, gewoon: "x". Steeds was de vraag: welke waarde voor x maakt de vergelijking kloppend? In deze paragraaf zul je kennismaken met onbekende tot de tweede macht: de onbekende komt voor in de vorm van "x²". Naast de kwadratische vorm kan de onbekende ook voorkomen tot de eerste macht. De vraag blijft hetzelfde: Voor welke waarde(n) van x wordt de vergelijking kloppend?

Voorbeeld 1: x² - bekende = 0

De vorm waarin de kwadratische vergelijking hierboven staat is de eenvoudigste vorm ervan. In het voorbeeld hieronder zal voor de bekende waarde $2\frac{1}{4}$ gebruikt worden. Net als bij isoleren van een onbekende is ook nu weer de vraag: welke waarde voor x maakt de vergelijking kloppend?

Je kunt eerst voor een aantal waarden van x uitrekenen welke waarde er uit de vergelijking $\mathrm{y}=\mathrm{x}{\phantom{A}}^2-2\frac{1}{4}$ komt:

$\begin{array}{cccccccc}\mathrm{x}\mathrm{-}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}& -3& -2& -1& 0& 1& 2& 3\\ \mathrm{y}\mathrm{-}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}& 6\frac{3}{4}& 1\frac{3}{4}& -1\frac{1}{4}& -2\frac{1}{4}& -1\frac{1}{4}& 1\frac{3}{4}& 6\frac{3}{4}\end{array}$

Duidelijk is dat "ergens" tussen (-2) en (-1) en "ergens" tussen (1) en (2) de vergelijking waar zal zijn.

In de figuur hiernaast staat de grafiek getekend van $\mathrm{y}=\mathrm{x}{\phantom{A}}^2-2\frac{1}{4}$ en de vraag voor welke waarden is de vergelijking waar kun je in de figuur ook stellen als: op welke punten gaat de grafiek door de x-as?
Voor het beantwoorden van die vraag gelden dezelfde regels als voor het isoleren van een onbekende: verzamel alle x-en aan een kant van het gelijkteken, en de rest aan de andere kant. Het gaat als volgt:

$x^2-2\frac{1}{4}=0$

verg. 1

grafiek van $y=x^2-2\frac{1}{4}$

De term $-2\frac{1}{4}$ is hier een spelbreker, dus die moet naar de andere kant van het gelijkteken. Links en rechts $2\frac{1}{4}$ optellen (zie de overbrengingsregels) levert dan vergelijking 2:

$x^2=2\frac{1}{4}$

verg. 2

Met vergelijking 2 was je klaar als het om een eerstegraads vergelijking ging. Helaas kun je nu prima zien wat de waarde van de onbekende met zichzelf vermenigvuldigd is, maar over "x" zelf kun je nog weinig zeggen. Gelukkig is er in de wiskunde een functie om het getal te vinden dat met zichzelf vermenigvuldigd $2\frac{1}{4}$ oplevert: de wortel.
Opnieuw gebruiken we een basisregel uit het isoleren van een onbekende: als je links en rechts van het gelijkteken hetzelfde doet, blijft de gelijkheid waar. In dit geval ga je dus links en rechts worteltrekken.

$\sqrt{x^2}=\sqrt{2\frac{1}{4}}$

verg. 3

In vergelijking 3 moet je aan de linkerkant het getal zoeken dat met zichzelf vermenigvuldigt $x^2$ oplevert, maar dat is x zelf. Je vindt dus:

$x=\sqrt{2\frac{1}{4}}$

verg. 4

Met je rekenmachine kun je vervolgens de wortel uit $2\frac{1}{4}$ uitrekenen. Als je het goed doet komt er 1,5 uit.

Als je rekenmachine geen speciale knop voor de wortelfunctie heeft is dan vaak de combinatie van de toetsen <shift> of <2nd> met <x²> bruikbaar.

Ter controle kun je het nog een keer terugrekenen: en inderdaad:

${\left(1\frac{1}{2}\right)}^2-2\frac{1}{4}=2\frac{1}{4}-2\frac{1}{4}=0$

$x=1\frac{1}{2}$

verg. 5

Bij bovenstaande oplossing hoort nog een heel belangrijke opmerking:

De wortel van een getal "g" is het positieve getal dat met zichzelf vermenigvuldigt "g" oplevert.

Dat wil zeggen: de wortel uit 9 is 3, want 3 keer 3 is 9.

Maar: min maal min is plus! Dat wil zeggen dat niet alleen 3, maar ook (-3) met zichzelf vermenigvuldigt 9 oplevert. Vergelijking 5 is dus maar de helft van de oplossing. De correcte oplossing is dus:

$\begin{array}{cccc}x& =& 1\frac{1}{2}& \mathrm{o}\mathrm{f}\\ x& =& -1\frac{1}{2}\end{array}$

verg. 6

De oplossing

In de wiskunde wordt de dubbele uitkomst, zowel de positieve als de negatieve waarde maken van de oorspronkelijke vergelijking in kloppende berekening, meestal aangegeven met het teken $\pm$. In de wiskunde betekent $\pm$ dus niet zoiets als "ongeveer", maar: zowel de positieve als de negatieve waarde van wat er volgt. Bovenstaande uitkomst wordt dan genoteerd als:

$x=\pm 1\frac{1}{2}$

verg. 7

Notatie

Een belangrijke regel bij het oplossen van dit soort vergelijkingen is dat een kwadraat altijd positief is. Vind je dus op een bepaald moment:

$\mathrm{x}{\phantom{A}}^2=-\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}$

dan is het niet mogelijk de wortel te trekken. De vergelijking heeft geen wortels
Het kan zijn dat je "ergens" in de bewerkingen een fout gemaakt hebt. Je kunt dan het beste de hele serie bewerkingen nog een keer noteren zonder naar je eerdere notities te kijken. Doe je dat wel, en je hebt ergens een fout gemaakt, dan zit het er dik in dat je dezelfde fout nog een keer maakt. Kom je de tweede keer op de zelfde vergelijking, en dus "geen wortels" uit, dan is dat blijkbaar zo.

In de grafiek hiernaast, voor de vergelijking $y=x^2+2\frac{1}{4}$, zie je dat de grafiek nergens de x-as passeert. Je kunt dat ook beredeneren, door te bedenken dat de laagste waarde voor x² bereikt wordt voor x = 0: x² is dan ook 0. Elk ander getal met zichzelf vermenigvuldigt levert een groter getal op dan 0. Tel je daar nog iets bij op, dan is de uitkomst altijd groter dan nul. $x^2+2\frac{1}{4}=0$ kan dus voor geen enkele waarde van x waar zijn.

Error
grafiek van $y=x^2+2\frac{1}{4}$

Voorbeeld 2

In het voorgaande voorbeeld is de meest eenvoudige vorm van de kwadratische vergelijking besproken. Je hebt gezien dat het vooral een kwestie is van de overbrengingsregels netjes toepassen en uiteindelijk worteltrekken en rekening houden met de positieve en de negatieve uitkomst. Met verwijzing naar de verschillende overbrengingsregels wordt onderstaand voorbeeld zonder verdere uitleg uitgewerkt:

Los x op uit:

$\frac{2x^2}{3}-7=0$

$\frac{2x^2}{3}=7$

$2x^2=7\ast 3$

$x^2=\frac{7\ast 3}{2}$

$x=+\sqrt{\frac{7\ast 3}{2}}\approx \mathrm{3,24037034.....}$ of

$x=-\sqrt{\frac{7\ast 3}{2}}\approx -\mathrm{3,24037034.....}$

Deze uitkomst kun je ook noteren op de manier van vergelijking 7 in voorbeeld 1:

$x=\pm \sqrt{\frac{7\ast 3}{2}}\approx \pm \mathrm{3,24037034.....}$

Voorbeeld 3

De voorbeelden hierboven gebruikten getallen om duidelijk te maken hoe je dit soort vergelijkingen kunt aanpakken. In onderstaand voorbeeld wordt een algemenere vorm gebruikt:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{x}{\phantom{A}}^2+\mathrm{c}=0$

verg. 8

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{x}{\phantom{A}}^2=-\mathrm{c}$

verg. 9

$\mathrm{x}{\phantom{A}}^2=\frac{-\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

verg. 10

$\mathrm{x}=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}}$

verg. 11

In vergelijking 11 staat er voor de "c" een minteken! Dat betekent dat je de wortel niet kunt trekken. Maar als "c" een negatief getal is dan geldt min maal min is plus, en kun je dus wel worteltrekken.

---

---