Overbrengingsregels/Isoleren

---

Vorige pagina

Inhouds­opgave

Volgende pagina

---

Stappenplan

In de vorige paragrafen zijn de regels voor het isoleren per bewerking uitgelegd. Helaas is de praktijk dat je vaak verschillende bewerkingen na elkaar moet gebruiken. De stappen zijn dan als volgt:

• Isoleren van een parameter wil zeggen dat je een vergelijking zo schrijft dat die parameter alleen en aan één kant van het gelijkteken staat. Bovendien staat de parameter "boven" de streep (je hoeft er niet door te delen).

Isoleren

1

Breng termen (getallen of symbolen die je moet optellen of aftrekken) met de parameter naar de ene kant van het gelijkteken, termen zonder naar de andere kant.

Termen

2

Breng factoren (getallen of symbolen die je moet vermenigvuldigen of delen) met de parameter naar de ene kant van het gelijkteken, termen zonder naar de andere kant.

Factoren

3

Als tijdens stap 2 aan de kant waar je de parameter aan het verzamelen bent, weer termen zijn ontstaan zonder de parameter, dan herhaal je stap 1.

herhalen

Uiteindelijk resulteert dit in een vergelijking van de vorm:

$\mathrm {x\ =\ formule}$ of $\mathrm {formule\ =\ x}$

Verg. 1

Uitkomst

Voorbeeld met getallen

In het volgende voorbeeld met getallen zie je de uitwerking van de regels. Het eigenlijke rekenen is tot de laatste stap bewaard, zodat je kunt blijven zien wat er met een bepaald getal gebeurt.

Isoleer X uit:

$\mathrm {1\ +\ {\frac {7\ +\ 3\,x}{2}}\ =\ 5\,x\ -\,8}$

{{{Nummer}}}

Hier maakt het niet uit naar welke kant je de "x" verzamelt. Met de breuk aan de linkerkant is dat de gebruikelijke plek. De eerste stap is de losse term "1" naar de andere kant brengen. Kijk eventueel op de pagina optellen hoe dat ook al weer moest:

$\mathrm {{\frac {7\ +\ 3\,x}{2}}\ =\ 5\,x\ -\,8\ -\ 1}$

Verg. 2

1 + verplaatsen

De volgende stap is de term "5x" naar de linker kant brengen. NB: Het minteken voor de "8" aan de rechterkant blijft daar staan, het hoort bij de acht.

$\mathrm {{\frac {7\ +\ 3\,x}{2}}\ -\ 5\,x\ =\ -\,8\ -\ 1}$

Verg. 3

5x verplaatsen

Er zijn nu geen termen meer aan de "verkeerde kant" van het gelijkteken, dus hiermee is de eerste stap voorlopig klaar. De volgende stap is de breuk en het ongebroken getal aan de linkerkant. Breuken mag je bij elkaar optellen als de noemers (het getal onder de breukstreep) gelijk zijn. Dat kan door het ongebroken getal ook als breuk met noemer 2 te schrijven. De teller moet dan wel ook met 2 vermenigvuldigd worden:

$\mathrm {{\frac {7\ +\ 3\,x}{2}}\ -\ {\frac {2\ \times \ 5\,x}{2}}\ =\ -\,8\ -\ 1}$

Verg. 4

Breuk gelijknamig maken

waarna de breuken samengenomen kunnen worden:

$\mathrm {{\frac {(7\ +\ 3\,x)\ -\ (2\ \times \ 5\,x)}{2}}\ =\ -\,8\ -\ 1}$

Verg. 5

Breuken combineren

Nu kan de factor 2 verplaatst worden. Bovendien kunnen de haken in de teller weggelaten worden, maar aan de rechterkant komen ze terug: alles moet met 2 vermenigvuldigd worden:

$\mathrm {7\ +\ 3\,x\ -\ 2\,\times \ 5\,x\ =\ 2\,\times \,(-\,8\ -\ 1)}$

Ver. 6

Factor 2 verplaatsen

Door het verplaatsten van de factor 2 is aan de linkerkant nu een term ontstaan zonder "x". Stap 3 in het stappenplan geeft aan: stap 1 weer uitvoeren: de 7 moet verplaatst worden.

$\mathrm {3\,x\ -\ 2\,\times \ 5\,x\ =\ 2\,\times \,(-\,8\ -\ 1)\ -\ 7}$

Verg. 7

7 verplaatsen

Er staan links van het gelijkteken nu allerlei termen met x, maar elk daarvan is het product van een aantal factoren. Om die extra factoren aan de linkerkant "kwijt" te raken (ze komen rechts dan uiteraard tevoorschijn) breng je eerst de "x" buiten haakjes:

$\mathrm {(3\ -\ 2\,\times \ 5)\,\times \,x\ =\ 2\,\times \,(-\,8\ -\ 1)\ -\ 7}$

Verg. 8

x buiten haakjes

Nu kan links en rechts gedeeld worden door "(3 - 2 x 5)" en vind je een formule die links alleen een "x" heeft en rechts alle andere factoren. Het rechter deel kun je bovendien nu in een keer uitrekenen:

$\mathrm {x\ =\ {\frac {(2\,\times \,(-\,8\ -\ 1)\ -\ 7}{3\ -\ 2\,\times \ 5}}\ =\ {\frac {2\,\times \,(-\,9)\ -\ 7}{3\ -\ 10}}\ =\ {\frac {-18\ -\ 7}{-\ 7}}\ =\ {\frac {-25}{-\ 7}}=3{\frac {4}{7}}}$

Verg. 9

Factor die voor "x" staat verplaatsen en rekenen

In de serie formules hierboven kun je natuurlijk op het moment dat er gewone getallen staan meteen aan het rekenen gaan. Vooral bij ingewikkeldere formules is de kans op schrijffouten dan groot. Ook afrondingen kunnen makkelijk roet in het eten gooien als je net niet voldoende decimalen "meeneemt" In onderstaande serie formules is eigenlijk dezelfde serie bewerkingen uitgevoerd, alleen zijn de getallen door letters vervangen:

a = 1

b = 7

c = 3

d = 2

e = 5

f = 8

$\mathrm {a\ +\ {\frac {b\ +\ c\,x}{d}}\ =\ e\,x\ -\,f}$

$\mathrm {{\frac {b\ +\ c\,x}{d}}\ =\ e\,x\ -\,f\ -\ a}$

$\mathrm {{\frac {b\ +\ c\,x}{d}}\ -\ e\,x\ =\ -\,f\ -\ a}$

$\mathrm {{\frac {b\ +\ c\,x}{d}}\ -\ {\frac {d\ \times \ e\,x}{d}}\ =\ -\,f\ -\ a}$

$\mathrm {{\frac {(b\ +\ c\,x)\ -\ (d\ \times \ e\,x)}{d}}\ =\ -\,f\ -\ a}$

$\mathrm {b\ +\ c\,x\ -\ d\,\times \ e\,x\ =\ d\,\times \,(-\,f\ -\ a)}$

$\mathrm {c\,x\ -\ d\,\times \ e\,x\ =\ d\,\times \,(-\,f\ -\ a)\ -\ b}$

$\mathrm {(c\ -\ d\,\times \ e)\,\times \,x\ =\ d\,\times \,(-\,f\ -\ a)\ -\ b}$

$\mathrm {x\ =\ {\frac {(d\,\times \,(-\,f\ -\ a)\ -\ b}{c\ -\ d\,\times \ e}}}$

Invullen leidt nu (uiteraard) tot vergelijking 9

$\mathrm {x\ =\ {\frac {(2\,\times \,(-\,8\ -\ 1)\ -\ 7}{3\ -\ 2\,\times \ 5}}\ =\ 3{\frac {4}{7}}}$

In de wiskunde worden dit soort breuken niet omgezet naar een tiendelige breuk!

hetzelfde met letters

---

Vorige pagina

Inhouds­opgave

Volgende pagina

---