Basiskennis chemie 2/Logaritme

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

 

Logaritme

Rond 1600 is dit idee verder uitgewerkt door de Schotse wiskundige Napier. Hij bedacht het volgende:
Als ik van alle getallen de exponent weet bij een zelfde grondtal, dan kan ik vermenigvuldigen door die exponenten bij elkaar op te telen en dan te kijken welke echt getal hoort bij die som van exponenten. Voor delen kan ik de exponenten aftrekken, en ook machtsverheffen of worteltrekken wordt zo eenvoudig mogelijk.

Als exponenten op deze manier gebruikt worden, heten ze logaritme. Omdat het grondtal uiteraard belangrijk is voor de uitkomst, wordt dit aangegeven bij de logaritmefunctie. Helaas zijn er twee verschillende manieren in gebruik:

  • 2log(8) = 3.0 want 23 = 8.
    Het grondtal staat in superscript voor de aanduiding van de logfunctie.
  • log2(8) = 3.0 want 23 = 8. (ook dan)
    Het grondtal staat in subscript tussen de aanduiding van de logfunctie en het getal waarvan de logaritme genomen moet worden.

Logaritme
John Napier.jpg
John Napier
(1550-1617)

 

Tabel 1: Meer voorbeelden met 2 als grondtal

'
Getal2log(getal)Getal2log(getal)Getal2log(getal)Getal2log(getal)
0.0625-410.083.01287.0
0.125-30.5164.02568.0
0.25-221.0325.05129.0
0.5-142.0646.0102410.0

2log(x)

 
  • De vermenigvuldiging wordt dan de exponent van 4 plus de exponent van 8. Dat wordt dus: . Kijk je vervolgens welk getal bij de exponent 5 hoort dan vind je 32.

Vermenigvuldigen

 
  • De deling wordt , waar 0.0625 als uitkomst bijhoort.

Delen

 
De vierde macht van vier wordt: De logaritme van 4 opzoeken (= 2), met 4 vermenigvuldigen ( en daar weer het goede getal bij zoeken (= 256).

Machtsverheffen

 
De derdemachtswortel van 512 wordt: zoek de logaritme van 512 op (= 9), deel door 3 (= 9/3 = 3) en zoek het getal daar bij: 8.

Worteltrekken

 
De vierkantswortel van 0.0625 is 0.25, want en daar hoort 0.25 als antwoord bij.

Logaritme met 10 als grondtal

Als voorbeeld hoe het werkt zijn logaritmes met 2 als grondtal bruikbaar. De getallen waarmee je werkt zijn niet al te groot. Veel vaker, dus ook in het laboratorium, wordt gewerkt met logaritmes met 10 als grondtal. De vraag is dan alleen: hoe vind je de (bijvoorbeeld) de exponent van 10 die 2 oplevert, of 10log(2) = ?. Voor het vinden van het antwoord op die vraag is de regel die hoort bij worteltrekken heel belangrijk geweest.

10log(2)=?

 
In tabel 1 is te zien dat 210 net iets meer dan 1000 is.
     is iets meer dan
Verg. 25

Eerste benadering

 
Trek je uit 210 de tiendemachts wortel, dan krijg je uiteraard weer 2 terug (want 2 tien keer met zichzelf vermenigvuldigd is 210). Trekken we vervolgens uit 1000 (een getal dat iets kleiner is dan 210) de tiendemachts wortel, dan vinden we een getal dat ook iets kleiner zal zijn . Dat kan niet anders betekenen dan:
     is iets meer is dan

210

 
Nauwkeurig rekenen met deze waarde voor de logaritme van 2 is natuurlijk niet mogelijk. Er zijn veel te weinig cijfers bekent, en hoeveel is dat "iets meer dan"? Door in plaats van 210 uit te rekenen, kun je ook 2100 uitrekenen. Je vindt dan een getal dat iets groter is dan 1030. Trek je hier de 100e machts wortel uit, dan vind je 100.30. Je kunt dit ook nog verder berekenen door 21000 of 210000 uit te berekenen en de daarbij horende wortel te trekken. Voor de meeste toepassingen in de wetenschap, en dus ook in het laboratorium, levert dat een waarde op die nauwkeurig genoeg is. Op basis van 210000 is de logaritme van 2 berekend als 0.3040 .

log(2)

 
Uiteraard kun je nu ook voor 3 een dergelijke rekenklus uitvoeren, en voor 4, 5 ...... . Gelukkig is dat niet nodig. Je kunt gebruik maken van de rekenregels voor rekenen met machten.
    

andere getallen

 

Tabel 2: Meer voorbeelden met 10 als grondtal

Getal10log(getal) Getal10log(getal) Getal10log(getal)
0.0001-4.0000   10.0000   1002.0000
0.001-3.0000   20.3040   10003.0000
0.01-2.0000 0.5000 100004.0000
0.1-1.0000 101.0000 1000005.0000

10log(x)

 

Toepassen van de rekenregels

Zo is 4 gelijk aan dus Op deze manier is de logaritme alle machten van 2 te bepalen.

10log(4)

 
20 is gelijk aan dus voor 10log(20) geldt:

10log(20)

 
Ook 10log(5) is nu te berekenen, want , zodat

10log(5)

 
Voor de wiskundige uit de tijd van de eerder genoemde Napier bleef de taak om van getallen als 3, 7, 11, 13 (de priemgetallen) de logaritme uit te rekenen. Als je de logaritme van 2 én van 3 weet, is de logaritme van 6 een kwestie van optellen. Hoewel dit een lastige klus is die veel nauwkeurigheid vereist, is de winst vervolgens enorm. Op allerlei terreinen van wetenschap en techniek worden berekeningen nu een stuk eenvoudiger. Tien getallen met elkaar vermenigvuldigen is op papier een lastige klus. Van tien getallen de logaritme opzoeken, deze onder elkaar noteren en optellen is veel eenvoudiger. Berekeningen voor de navigatie op zee werden veel sneller en het uitrekenen waar aan de hemel de planeet Neptunis te vinden moest zijn, zou een vrijwel on mogelijke opgave geweest zijn. Na de berekeningen door Adams en Le Verrier in 1843 konden Galle en d'Arrest de planeet in 1846 op 1° afstand van de berekende positie vinden.

Toepassingen

 
Omdat de logaritme met 10 als grondtal ontzettend veel gebruikt wordt, en andere grondtallen heel weinig, wordt de aanduiding van het grondtal 10 heel vaak weggelaten:

log(2)

 

 

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.