Logaritme

Rond 1600 is het idee om te kunnen vermenigvuldigen door op te tellen, of te delen door af te trekken, verder uitgewerkt door de Schotse wiskundige Napier. Hij bedacht het volgende:

Als ik van alle getallen de exponent weet bij een zelfde grondtal, dan kan ik:
* vermenigvuldigen door die exponenten bij elkaar op te tellen en dan te kijken welke echt getal hoort bij die som van exponenten.
* Voor delen kan ik de exponenten aftrekken en dan te kijken welke echt getal hoort bij dat verschil van exponenten.
* Voor machtsverheffen kan ik de exponent vermenigvuldigen
* Voor worteltrekken kan ik de exponent delen.

Als exponenten op deze manier gebruikt worden, heten ze logaritme. Omdat het grondtal uiteraard belangrijk is voor de uitkomst, wordt dit aangegeven bij de logaritmefunctie. Helaas zijn er twee verschillende manieren in gebruik:

²log(8) = 3.0 want 2³ = 8.
Het grondtal staat in superscript voor de aanduiding van de logfunctie.
log₂(8) = 3.0 want 2³ = 8. (ook dan)
Het grondtal staat in subscript tussen de aanduiding van de logfunctie en het getal waarvan de logaritme genomen moet worden.

Logaritme

John Napier
(1550-1617)

Tabel 1: Meer voorbeelden met 2 als grondtal

Getal	²log(getal)	Getal	²log(getal)	Getal	²log(getal)	Getal	²log(getal)
0.0625	-4	1	0.0	8	3.0	128	7.0
0.125	-3	${\sqrt {2}}$	0.5	16	4.0	256	8.0
0.25	-2	2	1.0	32	5.0	512	9.0
0.5	-1	4	2.0	64	6.0	1024	10.0

²log(x)

* De vermenigvuldiging

4\ \times \ 8

wordt dan de exponent van 4 plus de exponent van 8. Dat wordt dus:

2+3=5

. Kijk je vervolgens welk getal bij de exponent 5 hoort dan vind je 32.

Vermenigvuldigen

* De deling

2\ /\ 32

wordt

1\ -\ 5\ =\ -4

, waar 0.0625 als uitkomst bijhoort.

De vierde macht van vier wordt: De logaritme van 4 opzoeken (= 2), met 4 vermenigvuldigen (

=2\ \times \ 4\ =\ 8

en daar weer het goede getal bij zoeken (= 256).

Machtsverheffen

De derdemachtswortel van 512 wordt: zoek de logaritme van 512 op (= 9), deel door 3 (= 9/3 = 3) en zoek het getal daar bij: 8.

Worteltrekken

De vierkantswortel van 0.0625 is 0.25, want

{\frac {-4}{2}}\ =\ -2

en daar hoort 0.25 als antwoord bij.

Logaritme met 10 als grondtal

Als voorbeeld hoe het werkt zijn logaritmes met 2 als grondtal bruikbaar. De getallen waarmee je werkt zijn niet al te groot. Veel vaker wordt gewerkt met logaritmes met 10 als grondtal. (Eerder is beschreven hoe je (bijvoorbeeld) de exponent van 10 die 2 oplevert, kunt vinden.

¹⁰log(2)=?

In tabel 1 is te zien dat 2¹⁰ net iets meer dan 1000 is.

2^{10}

is iets meer dan

10^{3}

Verg. 25

Eerste benadering

Uiteraard kun je nu ook voor 3, net als (eerder beschreven voor 2), een dergelijke rekenklus uitvoeren, en voor 4, 5 ...... . Voor 3 is dat inderdaad ook nodig, Maar voor 4 kun je gebruik maken van de rekenregels voor rekenen met machten.

4\ =\ 2\ *\ 2\ \Rightarrow \ \log(4)=\ \log(2)\ +\ \log(2)\ =\ 0,3010\ +\ 0,3010\ =\ 0,6020

{{{Nummer}}}

¹⁰log(3)
¹⁰log(4)

Bij 5 kun je bedenken dat de logaritme van 10 één moet zijn (10¹ = 10) en 5 = 10/2. Dus:

\log {(5)}\ =\ 1{,}0000\ -\ 0{,}3010\ =\ 0{,}6990

.

Bij ${\sqrt {2}}$ geldt dat de logaritme daarvan, omdat het over de 2e machtswortel van 2 gaat:

\log {\sqrt {2}}\ =\ {\frac {0{,}3010}{2}}\ =\ 0{,}1505

moet zijn.

andere getallen

Toepassen van de rekenregels

Zo is 16 gelijk aan

4\ \times \ 4

dus

^{10}\log {16}\ =\ ^{10}\log {4}+^{10}\log {4}\ =\ 0.6020\ +\ 0.6020\ =\ 1.2040

Op deze manier is de logaritme alle machten van 2 te bepalen, maar ook van getallen als 1,6 of 0,16:

\mathrm {1{,}6\ =\ {\frac {16}{10}}\ \Longrightarrow \ log(1{,}6)\ =log(16)\ -\ log(10)\ =\ 1.2040\ -\ 1{,}0000\ =\ 0{,}2040}

.

en

\mathrm {0{,}16\ =\ {\frac {16}{100}}\ \Longrightarrow \ log(0{,}16)\ =log(16)\ -\ log(100)\ =\ 1.2040\ -\ 2{,}0000\ =\ -0{,}7960}

.

¹⁰log(4)

20 is gelijk aan

2\ \times \ 10

dus voor ¹⁰log(20) geldt:

^{10}\log {20}\ =^{10}\log {2}\ +\ ^{10}\log {10}\ =\ 0.3010\ +\ 1.0000\ =1.3010

¹⁰log(20)

Ook ¹⁰log(250) is nu te berekenen, want

250\ =\ {\frac {1000}{4}}

, zodat

^{10}\log(250)\ =\ ^{10}\log(1000)\ -\ ^{10}\log(4)\ =\ 3,0000\ -\ 0.6020\ =\ 2.3980

¹⁰log(250)

Tabel 2: Meer voorbeelden met 10 als grondtal

Getal	¹⁰log(getal)	Getal	¹⁰log(getal)	Getal	¹⁰log(getal)	Getal	¹⁰log(getal)
0.0001	-4.0000	1	0.0000	100	2.0000
0.001	-3.0000	2	0.3040	1000	3.0000
0.01	-2.0000	${\sqrt {10}}$	0.5000	10000	4.0000
0.1	-1.0000	5	0,6960	10	1.0000	100000	5.0000

¹⁰log(x)

Toepassingen van logaritme

Voor de wiskundige uit de tijd van de eerder genoemde Napier bleef de taak om van getallen als 3, 7, 11, 13 (de priemgetallen) de logaritme uit te rekenen. Als je de logaritme van 2 én van 3 weet, is de logaritme van 6 een kwestie van optellen. Hoewel het bepalen van de logaritmes van de priemgetallen een lastige klus was die veel nauwkeurigheid vereiste, is de winst vervolgens enorm.

Op allerlei terreinen van wetenschap en techniek worden berekeningen nu een stuk eenvoudiger. Tien getallen met elkaar vermenigvuldigen is op papier een lastige klus. Van tien getallen de logaritme opzoeken, deze onder elkaar noteren en optellen is veel eenvoudiger.

Berekeningen voor de navigatie op zee werden veel sneller en het uitrekenen waar aan de hemel de planeet Neptunus in 1846 te vinden moest zijn, zou een vrijwel onmogelijke opgave geweest zijn zonder gebruik te maken van logaritmes. Nu gebruik je daarvoor een rekenmachine, maar die zijn voor dit soort berekeningen pas ontwikkeld rond 1950 en pas rond 1970 algemeen beschikbaar gekomen. Na de berekeningen door Adams en Le Verrier in 1843 konden Galle en d'Arrest de planeet in 1846 op 1° afstand van de berekende positie vinden.

Toepassingen

Hedendaags gebruik van logaritmes

Het oorspronkelijke gebruik van logaritmes, berekeningen makkelijker laten verlopen, is door de huidige rekenmachines vrijwel vergeten. Toch kom je ze nog regelmatig verstopt tegen. Vooral om grootheden te beschrijven die meerdere ordes van grootte kunnen hebben is dit het geval.

Rekenliniaal: Als voorloper van de rekenmachine speelde de op logarimtes gebaseerde rekenliniaal een belangrijke rol in de technische en wetenschappelijke ontwikkeling in de periode van 1610 tot 1970.
Rekenmachines: In rekenmachines worden getallen met een komma gehanteerd met behulp van logaritmes. Daardoor worden vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken met een acceptabele snelheid uitgevoerd.
Aardbevingen: De bij aardbevingen gebruikte schaal van Richter is een logaritmische schaal. Is de sterkte een eenheid groter dan is de kracht van de beving 10 keer zo groot.
Decibel: De sterkte van geluid wordt gemeten in decibel (dB). Hierbij geldt dat een verhoging van 10 dB de geluidsdruk met een factor 10 laat stijgen. Doordat de schaal logaritmisch is, betekent de volgende toename van 10 dB weer een toename met een factor 10. Een toename van 20 db betekent dus een toename in geluidsdruk van 10 keer 10, ofwel 100!
Zuursterkte: In de scheikunde wordt zuursterkte van een oplossing aangegeven in pH. Van de concentratie waterstof-ionen in een oplossing wordt de negatieve logaritme genomen en als pH doorgegeven. De negatieve waarde is het gevolg van het feit dat de concentratie meestal (veel) kleiner is dan 1, waardoor bijna altijd negatieve waarden voor de logaritme gevonden worden.

Logaritmes in de praktijk

Omdat de logaritme met 10 als grondtal ontzettend veel gebruikt wordt, en andere grondtallen heel weinig, wordt de aanduiding van het grondtal 10 heel vaak weggelaten:

^{10}\log(2)\ =\log(2)=0{,}3010

log(2)