Exponenten en machten

Al eerder is aan de orde geweest hoe je met machten moet optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. In dit hoofdstuk zullen we stil staan bij machtsverheffen en exponenten.

Machtsverheffen

Voorbeelden

Voorbeeld 1

(2^{2})^{3}\ =

Verg. 1

(2^{2})^{3}

Machtsverheffen wil zeggen, vermenigvuldigen met zichzelf, dus de derde macht uitwerken geeft:

(2^{2})^{3}\ =\ (2^{2})\ \times \ (2^{2})\ \times \ (2^{2})\ =

Verg. 2

maar dat geldt ook voor de tweede macht. Uitwerken geeft nu:

(2^{2})^{3}\ =\ (2\times 2)\ \times \ (2\times 2)\ \times \ (2\times 2)\ =

Verg. 3

In vergelijking 3 hebben de haakjes alleen nog de functie van aangeven welke factoren bij elkaar horen. Voor het resultaat hebben ze geen betekenis. De haakjes kunnen dus ook weggelaten worden.

(2^{2})^{3}\ =\ 2\times 2\ \times \ 2\times 2\ \times \ 2\times 2\ =

Verg. 4

Maar dit is een hele serie tweeën, die allemaal met elkaar moeten worden vermenigvuldigd. Dat kan veel korter genoteerd worden:

(2^{2})^{3}\ =\ 2\times 2\ \times \ 2\times 2\ \times \ 2\times 2\ =2^{6}

Verg. 5

Voorbeeld 2

(10^{3})^{4}\ =

Verg. 6

(10^{3})^{4}

(10^{3})^{4}\ =\ (10^{3})\ \times \ (10^{3})\ \times \ (10^{3})\ \times \ (10^{3})

Verg. 7

(10^{3})^{4}\ =\ (10\times 10\times 10)\ \times \ (10\times 10\times 10)\ \times \ (10\times 10\times 10)\ \times \ (10\times 10\times 10)

Verg. 8

(10^{3})^{4}\ =\ 10\times 10\times 10\times \ 10\times 10\times 10\ \times 10\times 10\times 10\times \ 10\times 10\times 10

Verg. 9

Vergelijking 9 kan eenvoudiger geschreven worden als:

(10^{3})^{4}\ =\ 10^{12}

Verg. 10

De vergelijkingen 5 en 10 laten duidelijk zien hoe de regel voor machtsverheffen met exponten werkt:

Bij machtsverheffen met een exponent, wordt de exponent vermenigvuldigd met de macht.

(g^{m})^{n}\ =\ g^{m\,\times \,n}

Regel

Bovenstaande regel geldt ook bij negatieve exponenten:

(10^{-\,3})^{2}\ =\left({\frac {1}{10^{3}}}\right)^{2}\ =\ \left({\frac {1}{10^{3}}}\right)\ \times \ \left({\frac {1}{10^{3}}}\right)

Verg. 11

Negatieve exponent

Wat ook geschreven kan worden als:

(10^{-\,3})^{2}\ =\left({\frac {1}{10^{3}}}\right)^{2}\ =\ \left({\frac {1}{10\,\times \,10\,\times \,10}}\right)\ \times \ \left({\frac {1}{10\,\times \,10\,\times \,10}}\right)

Verg. 12

Bij het vermenigvuldigen van breuken moet je de tellers (boven de streep) met elkaar menigvuldigen voor de nieuwe teller. De noemers (onder de streep) vermenigvuldig je om de nieuwe noemer te krijgen. In vergelijking 12 betekent dat: