Worteltrekken met exponenten

Zoals de tegenovergestelde bewerking van optellen aftrekken, is hoort bij vermenigvuldigen het uitvoeren van een deling. Bij machtsverheffen hoort op deze manier worteltrekken. Bij worteltrekken moet je het getal uitrekenen dat met zichzelf vermenigvuldigd het uitgangsgetal oplevert.

Zo is de wortel van 9 gelijk aan 3, want 3 * 3 = 9 en is de wortel van 121 gelijk aan 11, want 11² = 121.

Voor het uitrekenen van de wortel van een getal wordt de term worteltrekken gebruikt. En je trekt de wortel uit een getal: in de wiskunde wordt dit vaak gezegd als: "de wortel uit 25 is 5".

In wiskundige notatie ziet het er als volgt uit:

{\sqrt {25}}\ =\ 5

Verg. 14

Worteltrekken

Net als bij exponenten het aantal keren dat een getal met zichzelf vermenigvuldigd kan worden groter is dan 2, kunnen we dat ook bij worteltrekken toepassen. Zo kun je het getal uitreken dat 3 keer met zichzelf vermenigvuldigd 27 oplevert:

{\sqrt[{3}]{27}}\ =\ 3

Verg. 15

derdemachts wortel

Je ziet dat het aantal keren dat het getal met zichzelf vermenigvuldigd moet worden in het wortelteken genoteerd wordt. Als onderscheid tussen deze wortel en de "gewone" wortel wordt gezegd: "de derdemachtswortel uit 27 is 3". En dit is uiteraard niet tot 2 of drie beperkt. Je kunt op dezelfde manier denken over de vijfdemachts wortel of de honderdste machts wortel.

Hogere machts wortels

Om verwarring te voorkomen wordt de gewone wortel, zeker als we het hebben over de wortels met verschillende machten, soms aangeduid met tweedemachts wortel of vierkantswortel. Ook in de wiskundige notatie wordt dat aangegeven: de macht, 2 dus, wordt in het wortelteken weergegeven:

{\sqrt[{2}]{81}}\ =\ 9

Verg. 16

Tweedemachts wortel
Vierkantswortel

Exponenten

Om te zien hoe worteltrekken met exponenten werkt, eerst een voorbeeld:
Trek de derdemachts wortel uit

64

of

2^{6}

.

64

kunnen we schrijven als:

64\ \ =\ 2\ \times \ 2\ \times \ 2\ \times \ 2\ \times \ 2\ \times \ 2

Verg. 17

stap 1

Om het getal te vinden dat drie keer met zichzelf vermenigvuldigd 64 oplevert, maken we van de factoren 3 groepjes. Er zijn 6 factoren, dus kunnen we drie groepjes maken:

64\ \ =\ (2\ \times \ 2)\ \times \ (2\ \times \ 2)\ \times \ (2\times \ 2)

Verg. 18

Stap 2

Voor elk van de groepjes geldt dat als je ze drie keer met zichzelf vermenigvuldigd, het antwoord 64 is. Elk groepje factoren is dus een derdemachtswortel uit 64. Je kan dus schrijven:

{\sqrt[{3}]{64}}=(2\ \times \ 2)\ =\ 4

Verg. 19

Stap 3

De regel is dus blijkbaar: Bij worteltrekken met exponenten deel je de exponent door de macht van de wortel.

Regel

Gevolgen van de regel

Net als bij de regel bij delen met exponenten heeft deze regel ook gevolgen als de exponent en de macht van de wortel niet een net heel getal opleveren. Als voorbeeld de vierkants- of gewone wortel uit 2. Als we 2 met een exponent schrijven vinden we 2¹, en dus voor de wortel:

{\sqrt {2}}\ =\ {\sqrt[{2}]{2^{1}}}\ =2^{\frac {1}{2}}\ =\ 2^{0.5}

Verg. 20

Gebroken exponent

Wat we bij "2 een halve keer met zichzelf vermenigvuldigen", wat toch de oorspronkelijke betekenis is van de exponent, moeten voorstellen is niet echt belangrijk. Belangrijker is de vraag: "Past dit in het geheel van de regels die we al hebben?" We kunnen hiervoor kijken naar de regels voor vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen.

Werkt wel

Bij vermenigvuldigen mogen we de exponenten optellen (als de grondtallen gelijk zijn). De eenvoudigste vermenigvuldiging is die waar je de uitkomst al van weet: de wortel is het getal dat met zichzelf vermenigvuldigd, het uitgangsgetal oplevert:

{\sqrt {2}}\ \times \ {\sqrt {2}}\ =\ 2^{0.5}\ \times \ 2^{0.5}\ =\ 2^{0.5+0.5}\ =\ 2^{1}\ =\ 2

Verg. 21

Vermenigvuldigen

Bij delen geldt dezelfde redenering: gebruik een breuk waarvan je de uitkomst al weet:

{\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}\ =\ {\frac {3^{0.5}}{3^{0.5}}}\ =3^{0.5-0.5}\ =\ 3^{0}\ =\ 1

Verg. 22

Los van de vraag welk getal er bij

{\sqrt {3}}

hoort: je deelt een getal door zichzelf, en daar komt altijd "1" uit.

Bij machtsverheffen mag je de exponent vermenigvuldigen met de macht:

\left({\sqrt {5}}\right)^{4}\ =\ \left(5^{0.5}\right)^{4}\ =\ 5^{0.5\times 4}\ =5^{2}=25

Verg. 23

Machtsverheffen

maar

{\sqrt {5}}

is het getal dat met zichzelf vermenigvuldigt "5" oplevert:

{\sqrt {5}}\ \times \ {\sqrt {5}}\ =\ ({\sqrt {5}})^{2}\ =\ 5

, zodat:

\left({\sqrt {5}}\right)^{4}\ =\ {\sqrt {5}}\ \times \ {\sqrt {5}}\ \times \ {\sqrt {5}}\ \times \ {\sqrt {5}}=\ ({\sqrt {5}}\ \times \ {\sqrt {5}})\ \times \ ({\sqrt {5}}\ \times \ {\sqrt {5}})\ =\ 5\ \times \ 5\ =25

Verg. 24

Exponent met 10 als grondtal

Als voorbeeld hoe het werkt zijn exponenten met 2 als grondtal bruikbaar. De getallen waarmee je werkt zijn niet al te groot. Veel vaker wordt gewerkt met 10 als grondtal. De vraag is dan alleen: hoe vind je (bijvoorbeeld) de exponent van 10 die 2 oplevert, of 10^?? = 2. Voor het vinden van het antwoord op die vraag is de regel die hoort bij worteltrekken heel belangrijk geweest.

¹⁰log(2)=?

Als je het netjes uitrekend blijkt dat 2¹⁰ net iets meer dan 1000 is.

2^{10}

is iets meer dan

10^{3}

Verg. 25

Eerste benadering

Trek je uit 2¹⁰ de tiendemachts wortel, dan krijg je uiteraard weer 2 terug (want 2 tien keer met zichzelf vermenigvuldigd is 2¹⁰). Trekken we vervolgens uit 1000 (een getal dat iets kleiner is dan 2¹⁰) de tiendemachts wortel, dan vinden we een getal dat ook iets kleiner zal zijn

{\sqrt[{10}]{2^{10}}}

. Dat kan niet anders betekenen dan:

{\sqrt[{10}]{2^{10}}}

is iets meer is dan

{\sqrt[{10}]{10^{3}}}\ =\ 10^{3/10}\ =\ 10^{0.3}

2¹⁰

Nauwkeurig rekenen met deze waarde voor de exponent van 10 om 2 te krijgen is natuurlijk niet mogelijk. Er zijn veel te weinig cijfers bekent, en hoeveel is dat "iets meer dan"? Door in plaats van 2¹⁰ uit te rekenen, kun je ook 2¹⁰⁰ uitrekenen. Je vindt dan een getal dat iets groter is dan 10³⁰. Trek je hier de 100e machts wortel uit, dan vind je 10^30/100 = 10^0.30. Je kunt dit ook nog verder berekenen door 2¹⁰⁰⁰ of 2¹⁰⁰⁰⁰ uit te berekenen en de daarbij horende wortel te trekken - deling uit te voeren. Voor de meeste toepassingen in de wetenschap en de techniek levert dat een waarde op die nauwkeurig genoeg is. Op basis van 2¹⁰⁰⁰⁰ is de exponent van 10 om 2 te krijgen berekend als 0,3040 .

log(2)

Blijkbaar is het gebruik van breuken als exponent niet in strijd met de rekenregels die je al kent. Het enige probleem is dat je je niet moet afvragen wat nu precies de betekenis is van een getal een halve, of een tiende, keer met zichzelf vermenigvuldigen. Het gebruik van deze exponenten levert, dat komt in een volgend hoofdstuk aan de orde, bovendien nog een belangrijk voordeel op.