Delen met exponenten

Delen met exponenten verloopt iets anders dan de vermenigvuldiging. Nemen we als voorbeeld: 10000 / 100.

De eerste stap is beide getallen als macht van 10 schrijven:

{\frac {10000}{100}}\ =\ {\frac {10^{4}}{10^{2}}}

Verg. 10

Schrijf je nu zowel teller als noemer uit dan krijg je:

{\frac {10^{4}}{10^{2}}}\ =\ {\frac {10\ \times \ 10\ \times \ 10\ \times \ 10}{10\ \times \ 10}}

Verg. 11

Vervolgens kunnen gelijke factoren boven en onder de deelstreep teken elkaar weggedeeld worden:

{\frac {10\ \times \ 10\ \times \ 10\ \times \ 10}{10\ \times \ 10}}=\ {\frac {{\not {1}}{\not {0}}\ \times \ {\not {1}}{\not {0}}\ \times \ 10\ \times \ 10}{{\not {1}}{\not {0}}\ \times \ {\not {1}}{\not {0}}}}

Verg. 12

Uitwerken geeft nu:

{\frac {{\not {1}}{\not {0}}\ \times \ {\not {1}}{\not {0}}\ \times \ 10\ \times \ 10}{{\not {1}}{\not {0}}\ \times \ {\not {1}}{\not {0}}}}\ =\ {\frac {1\ \times \ 1\ \times \ 10\ \times \ 10}{1\ \times \ 1}}

Verg. 13

of:

{\frac {10\ \times \ 10}{1}}\ =\ 10\ \times \ 10\ =10^{2}\ =\ 100

Verg. 14

Door het tegen elkaar wegdelen van de factoren in vergelijking 13 maak je voor elke factor in de noemer van de breuk het aantal factoren in de teller één lager: je trekt het aantal factoren in de noemer af van het aantal factoren in de teller. Je kunt bovenstaande serie vergelijkingen dus ook schrijven als:

{\frac {10^{4}}{10^{2}}}=10^{4-2}=10^{2}

Verg. 15

Concluse

Bij delen mag je, als de grondtallen gelijk zijn, de exponenten van elkaar aftrekken.

Regel

Gevolgen van de regel

Bij "gewone gevallen" is de regel duidelijk. Maar er zijn ook een paar, op het eerste gezicht, gekke gevolgen. Hieronder staat het effect beschreven als de exponent van de noemer groter is dan die van de teller. Hier staan twee andere effecten beschreven.

Gevolgen

De exponent van de noemer is groter dan die van de teller

De in een vorige paragraaf gevonden regel: Bij delen moet je de exponenten van elkaar aftrekken heeft een gekke consequentie. Kijk maar in het voorbeeld van 100 / 10000. De eerste stap is het omzetten van gewone getallen naar machten van 10:

{\frac {100}{10000}}\ =\ {\frac {10\ \times \ 10}{10\ \times \ 10\ \times \ 10\ \times \ 10}}\ =\ {\frac {10^{2}}{10^{4}}}

verg. 16

noemer groter dan teller

toepassen van de regel over het aftrekken van de exponenten geeft nu:

{\frac {10^{2}}{10^{4}}}\ =\ 10^{2-4}=10^{-2}

verg. 17

negatieve exponent

Wat je je moet voorstellen bij het vermenigvuldigen van het getal 10 dat je min twee keer met zichzelf vermenigvuldigd kan niemand vertellen. Het is alleen wel het gevolg van de toepassing van de regel bij delen met exponenten.
Daarnaast is er echter ook de gewone uitkomst van de breuk. Je rekenmachine geeft heel netjes aan dat de uitkomst moet zijn:

{\frac {10^{2}}{10^{4}}}\ =\ 10^{-2}\ =\ {\frac {1}{100}}\ =\ {\frac {1}{10^{2}}}\ =\ 0{,}01

verg. 18

Blijkbaar leidt de regel tot de conclusie dat

10^{-2}

ook gelezen kan worden als

{\frac {1}{10^{2}}}

. Meer algemeen ziet deze regel^[1] er dan als volgt uit:

10^{-n}\ =\ {\frac {1}{10^{n}}}

verg. 19

Regel

↑ Strikt genomen moet je hier melden dat dit alleen voor positieve grondtallen geldt. De focus ligt hier echter op 10 als grondtal, en dat is gelukkig een positief getal.

[1] Strikt genomen moet je hier melden dat dit alleen voor positieve grondtallen geldt. De focus ligt hier echter op 10 als grondtal, en dat is gelukkig een positief getal.

[1]