Wiskunde Opgaven/Overbrengingsregels

Opgaven

Voor uitleg over deze pagina: klik op "uitklappen" rechts in dit kader.

Op onderstaande pagina zijn alleen de vragen zichtbaar in een kader op een afwijkende ondergrond. Binnen het kader is rechts een knop zichtbaar: "Uitklappen", vergelijkbaar met de knop om deze tekst te openen. Door op deze knop te klikken wordt het antwoord van de betreffende vraag zichtbaar.
Vaak, maar niet altijd is er ook een uitwerking bij de vraag aanwezig. Deze blijft bij het openen van het antwoord nog onzichtbaar, maar opnieuw is, als een uitwerking beschikbaar is, een knop "Uitklappen" aanwezig om de uitwerking zichtbaar te maken. Ontbreekt bij het antwoord de knop "Uitklappen", dan is geen uitwerking bij de vraag beschikbaar.

Indien gewenst kunnen antwoord en uitwerking ook weer onzichtbaar gemaakt worden door op de zelfde plek als waar de knop "Uitklappen" aanwezig was op de knop "Inklappen" te klikken.

Opgaven isoleren onbekende met cijfers

Isoleer x

1. Isoleer x uit: $\mathrm {x\ -\ 7\ =\ 10}$ $\mathrm {x\ =\ 10\ +\ 7}$	2. Isoleer x uit: $\mathrm {x\ +\ 5\ =\ 20}$ $\mathrm {x\ =\ 20\ -\ 5}$	3. Isoleer x uit: $\mathrm {2\ \ x\ -\ 7\ =\ 51}$ $\mathrm {2\ \ x\ -\ 7\ =\ 51}$ $\mathrm {2\ *\ x\ =\ 51\ +\ 7}$ $\mathrm {x\ =\ {\frac {51\ +\ 7}{2}}}$
4. Isoleer x uit: $\mathrm {x\ +\ 7{\frac {2}{3}}\ =\ 14}$ $\mathrm {x\ =\ 14\ -\ 7{\frac {2}{3}}}$	5. Isoleer x uit: $\mathrm {3x\ -\ 12\ =\ 9}$ $\mathrm {3x\ -\ 12\ =\ 9}$ $\mathrm {3x\ =\ 9\ +\ 12}$ $\mathrm {x\ =\ {\frac {9\ +\ 12}{3}}}$	6. Isoleer x uit: $\mathrm {x\ -\ 7\ =\ -10}$ $\mathrm {x\ =\ -10\ +\ 7}$
7. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {x}{4}}\ =\ 2}$ $\mathrm {x\ =\ 2\ *\ 4}$	8. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {3}{x}}\ =\ -7}$ $\mathrm {3\ =\ -7\ *\ x}$ $\mathrm {{\frac {3}{-7}}\ =\ x}$ $\mathrm {-{\frac {3}{7}}\ =\ x}$	9. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {x}{3}}\ =\ 6}$ $\mathrm {x\ =\ 6\ *\ 3}$
10. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {2x}{4}}\ =\ 12}$ $\mathrm {2x\ =\ 12\ \ 4}$ $\mathrm {x\ =\ {\frac {12\ \ 4}{2}}}$	11. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {20x}{7}}\ =\ 12}$ $\mathrm {20x\ =\ 12\ \ 7}$ $\mathrm {x\ =\ {\frac {12\ \ 7}{20}}}$	12. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {3x^{2}}{4x}}\ =\ 5}$ Rechts staat boven en onder de streep "x": wegdelen $\mathrm {{\frac {3x}{4}}\ =\ 5}$ $\mathrm {3x\ =\ 5\ \ 4}$ $\mathrm {x\ =\ {\frac {5\ \ 4}{3}}}$
13. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {x\ -\ 2}{4}}\ =\ 3}$ $\mathrm {x\ -\ 2\ =\ 3\ \ 4}$ $\mathrm {x\ =\ 3\ \ 4\ +\ 2}$	14. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {8\ +\ 2x}{3}}\ =\ 5}$ $\mathrm {8\ +\ 2x\ =\ 5\ \ 3}$ $\mathrm {2x\ =\ 5\ \ 3\ -\ 8}$ $\mathrm {x\ =\ {\frac {5\ *\ 3\ -\ 8}{2}}}$	15. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {x}{4}}\ =\ 2}$ $\mathrm {x\ =\ 2\ *\ 4}$

Opgaven isoleren met letters

Isoleer x

16. Isoleer x uit: $\mathrm {x\ -\ a\ =\ b}$ $\mathrm {x\ =\ b\ +\ a}$	17. Isoleer x uit: $\mathrm {x\ +\ c\ =\ 20}$ $\mathrm {x\ =\ 20\ -\ c}$	18. Isoleer x uit: $\mathrm {2\ \ x\ -\ d\ =\ e}$ $\mathrm {2\ \ x\ =\ e\ +\ d}$ $\mathrm {x\ =\ {\frac {e\ +\ d}{2}}}$
19. Isoleer x uit: $\mathrm {x\ +\ 7{\frac {2}{3}}\ =\ a}$ $\mathrm {x\ =\ a\ -\ 7{\frac {2}{3}}}$	20. Isoleer x uit: $\mathrm {3x\ -\ g\ =\ b}$ $\mathrm {3x\ -\ g\ =\ b}$ $\mathrm {3x\ =\ b\ +\ g}$ $\mathrm {x\ =\ {\frac {b\ +\ g}{3}}}$	21. Isoleer x uit: $\mathrm {x\ -\ j\ =\ -k}$ $\mathrm {x\ =\ -k\ +\ j}$
22. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {x}{a}}\ =\ 2}$ $\mathrm {x\ =\ 2\ *\ a}$	23. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {3}{x}}\ =\ b}$ $\mathrm {3\ =\ b\ *\ x}$ $\mathrm {{\frac {3}{b}}\ =\ x}$	24. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {x}{c}}\ =\ 6}$ $\mathrm {x\ =\ 6\ *\ c}$
25. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {a\ \ x}{z}}\ =\ 12}$ $\mathrm {a\ \ x\ =\ 12\ \ z}$ $\mathrm {x\ =\ {\frac {12\ \ z}{a}}}$	26. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {c\ \ x}{d}}\ =\ g}$ $\mathrm {{\frac {c\ \ x}{d}}\ =\ g}$ $\mathrm {x\ =\ {\frac {g\ *\ d}{c}}}$	27. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {a\ \ x^{2}}{4\ \ c\ \ x}}\ =\ 3}$ Rechts staat boven en onder de streep "x": wegdelen $\mathrm {{\frac {a\ \ x}{4\ \ c}}\ =\ 3}$ $\mathrm {a\ \ x\ =\ 3\ \ 4\ \ c}$ $\mathrm {x\ =\ {\frac {3\ \ 4\ \ c}{a}}}$
28. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {x\ -\ d}{a}}\ =\ b}$ $\mathrm {x\ -\ d\ =\ b\ \ a}$ $\mathrm {x\ =\ b\ \ a\ +\ d}$	29. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {h\ +\ 2x}{i}}\ =\ m}$ $\mathrm {h\ +\ 2x\ =\ m\ \ i}$ $\mathrm {2x\ =\ m\ \ i\ -\ h}$ $\mathrm {x\ =\ {\frac {m\ *\ i\ -\ h}{2}}}$	30. Isoleer x uit: $\mathrm {{\frac {x}{e}}\ =\ 2}$ $\mathrm {x\ =\ 2\ *\ e}$

De algemene gaswet

De algemene gaswet legt een verband tussen de druk van een gas, het volume ervan, de hoeveelheid van het gas en de absolute temperatuur. Om te zorgen dat dit verband als een gelijkheid kan worden geschreven is de gasconstante ingevoerd. De wet luidt:

$\mathrm {p\ *\ V\ =\ n\ *\ R\ *\ T}$
met

p	:	de druk in Pascal
V	:	het volume in m³
n	:	het aantal mol gas
R	:	de gasconstante = 8,314 $\mathrm {\frac {J}{K.mol}}$
T	:	de temperatuur in Kelvin

Noteer bij onderstaande vragen niet alleen het antwoord, maar ook de tussenstappen om tot het antwoord te komen.

Isoleer uit de algemene gaswet

31.
de druk

\mathrm {p\ *\ V\ =\ n\ *\ R\ *\ T}

$\mathrm {{\frac {p\ *\ V}{V}}\ ={\frac {\ n\ *\ R\ *\ T}{V}}}$

\mathrm {p\ ={\frac {\ n\ *\ R\ *\ T}{V}}}

32.
het volume

\mathrm {p\ *\ V\ =\ n\ *\ R\ *\ T}

$\mathrm {{\frac {p\ *\ V}{p}}\ ={\frac {\ n\ *\ R\ *\ T}{p}}}$

\mathrm {V\ ={\frac {\ n\ *\ R\ *\ T}{p}}}

33.
het aantal mol

\mathrm {p\ *\ V\ =\ n\ *\ R\ *\ T}

$\mathrm {{\frac {p\ *\ V}{R\ *\ T}}\ ={\frac {\ n\ *\ R\ *\ T}{(R\ *\ T)}}}$
$\mathrm {{\frac {p\ *\ V}{R\ *\ T}}\ =n}$
wat evenueel geschreven kan worden als:

\mathrm {n\ =\ {\frac {p\ *\ V}{R\ *\ T}}}

34.
de gasconstante

\mathrm {p\ *\ V\ =\ n\ *\ R\ *\ T}

$\mathrm {{\frac {p\ *\ V}{n\ *\ T}}\ ={\frac {\ n\ *\ R\ *\ T}{p\ (n\ *\ T)}}}$
$\mathrm {{\frac {p\ *\ V}{n\ *\ T}}\ =n}$
wat evenueel geschreven kan worden als:

\mathrm {n\ =\ {\frac {p\ *\ V}{n\ *\ T}}}

35.
de temperatuur

\mathrm {p\ *\ V\ =\ n\ *\ R\ *\ T}

$\mathrm {{\frac {p\ *\ V}{n\ *\ R}}\ ={\frac {\ n\ *\ R\ *\ T}{p\ (n\ *\ R)}}}$
$\mathrm {{\frac {p\ *\ V}{n\ *\ R}}\ =T}$
wat evenueel geschreven kan worden als:

\mathrm {T\ =\ {\frac {p\ *\ V}{n\ *\ R}}}

Wiskunde incognito

Soms vraagt het wat fantasie om de wiskunde in een probleem te herkennen. Onderstaande opgaven vertellen een verhaaltje, raadsel zo je wilt, waarin de wiskunde helpt bij het vinden van de oplossing.
Noteer bij onderstaande vragen niet alleen het antwoord, maar ook de tussenstappen om tot het antwoord te komen.

36.
Bij Peter in de tuim staat een hottub. Om die te vullen gebruikt hij een emmer van 10 liter. Dat is heel wat op en neer lopen tussen de kraan en de hottub. Als hij klaar is moppert hij: "Als ik een emmer van 15 liter had gehad dan zou ik 40 keer minder hebben hoeven lopen.
Hoeveel liter water is er in de hottub gegaan?

1200 Liter

Het probleem hier is eerst het vertalen van het "verhaaltje" in een wiskundige vorm. Wat je moet uitrekenen is het volume in de hottub. Daarvoor geldt dat de hottub vol is na Peter een aantal keren met een 10-liter emmer gelopen heeft, maar hij is evenvol na een aantal keren met een 15-liter emeer gelopen te hebben. In formulevorm ziet dat er zo uit (eerst nog met woorden, daarna in een echte formulevorm:

{\ce {volume_{hottub}\ =\ 10\times (aantal\ keer\ 10\ Liter)\ \Longrightarrow \ v_{hottub}\ =\ 10\times n10}}

en

{\ce {volume_{hottub}\ =\ 15\times (aantal\ keer\ 15\ Liter)\ \Longrightarrow \ v_{hottub}\ =\ 15\times n15}}

De "n" wordt vaak gebruikt voor aantallen, de kleine "10" en "15" erachter geeft aan om welk aantal het gaat. Of Peter met een emmer van 10 of 15 loopt maakt niet uit, de hottub zit even vol, dus de "v_hottub" uit de eerste vergelijking moet gelijk zijn aan die in de tweede, waardoor je de twee vergelijkingen kunt combineren tot:

{\ce {10\times n10\ =\ 15\times n15}}

Op dit punt komt Peters klacht van pas: met een 15-Liter emmer hoeft hij 40 keer minder te lopen. Voor n₁₅ kun je dus ook schrijven: n₁₀ - 40:

{\ce {10\times n10\ =\ 15\times (n10\ -\ 40)}}

Hier zijn geen losse termen zonder "n₁₀", dus moet je hier eerst haakjes wegwerken:

{\ce {10\times n10\ =\ 15\times n10\ -\ 15\times 40}}

De "x"-termen links verzamelen geeft:

{\ce {10\times n10\ -\ 15\times n10\ =\ -15\times 40\ \Longrightarrow \ -5\times n10\ =\ -600}}

Links en rechts door -5 delen geeft dan "n₁₀":

{\ce {n10 \ = \ {\frac {-600}{-5}}\ = \ 120}}

"n₁₀" was het aantal keren dat Peter met de 10 Liter-emmer op en neer moest lopen, dat was dus 120 keer. De hoeveelheid water in de hottub is dus 10 keer 120 = 1200 Liter.

37.
Een jachtluipaard kan hard lopen, wel 90 km per uur (= 25 m/s). Jachtluipaarden eten graag antiloop, die maar ongeveer 65 km per uur (= 18 m/s) kunnen lopen, maar zij hebben wel goede ogen en zien jachtluipaarden al op 40 meter afstand.

Hoeveel meter moet het jachtluipaard lopen om de antiloop in te halen als het jachtluipaard met 40 meter achterstand begint, en beide dieren tegelijk en op topsnelheid gaan lopen.
Het jachtluipaard kan zijn topsnelheid 15 seconde volhouden, de antiloop wel een hele minuut. Heeft het jachtluipaard een lunch, of de antiloop geluk?

:1: 142,86

2: jachtluipaard heeft lunch

Opnieuw moet je eerst het verhaaltje vertalen naar de wiskunde die er onder zit.
De afstand die het jachtluipaard aflegt is: (snelheid jachtluipaard) maal (tijd). In formulevorm, met "a" = afstand, "v" = snelheid en "t" = tijd. De kleine "j" achter de "a" en de "v" geven aan dat het om het jachtluipaard gaat.

{\ce {a_{j}\ =\ t\times v_{j}}}

De afstand die de antiloop aflegt is: (snelheid antiloop} maal (tijd), of in formulevorm, met dezelfde betekenis van de symbolen, de kleine "a" geeft aan dat het over de antiloop gaat:

{\ce {a_{a}\ =\ t\times v_{a}}}

De tijd die beide dieren aan het lopen zijn tot het jachtluipaard de antiloop heeft ingehaald, is voor beide dieren gelijk. De tijd zelf is niet belangrijk, maar geeft wel de mogelijkheid om de twee vergelijkingen te combineren: Voor het jachtluipaard: ${\ce {a_{j}\ =\ t\times v_{j}\ \Longrightarrow \ {\frac {a_{j}}{v_{j}}}\ =\ t}}$ en voor de antiloop: ${\ce {a_{a}\ =\ t\times v_{a}\ \Longrightarrow \ {\frac {a_{a}}{v_{a}}}\ =\ t}}$ zodat: ${\ce {{\frac {a_{j}}{v_{j}}}\ = \ {\frac {a_{a}}{v_{a}}}}}$
De afstand die de antiloop aflegt is echter 40 meter minder dan dat het jachtluipaard moet lopen. Voor a_a kun je dus ook schrijven: a_j - 40:

{\ce {{\frac {a_{j}}{v_{j}}}\ = \ {\frac {a_{j}\ - 40}{v_{a}}}}}

Deze vergelijking is lastig doordat je links en rechts met een breuk zit opgescheept. Beide breuken kun je wegwerken door links en rechts met "v_jv_a" te vermenigvuldigen, en daarna de factoren die onder en boven de deelstrepen staan tegen elkaar weg te delen: ${\ce {{\frac {(v_{j}\times v_{a})\times a_{j}}{v_{j}}}\ =\ {\frac {(v_{j}\times v_{a})\times (a_{j}\ -40)}{v_{a}}}\ \Longrightarrow \ v_{a}\times a_{j}\ =\ v_{j}\times (a_{j}\ -40)}}$ De volgende stappen zijn: haakjes wegwerken, alle termen met "a_j" naar links brengen, "a_j" buiten haakjes brengen en vervolgens door het haakjesdeel delen:

{\ce {v_{a}\times a_{j}\ =\ v_{j}\times (a_{j}\ -40)\ \Longrightarrow \ v_{a}\times a_{j}\ =\ v_{j}\times a_{j}\ -\ v_{j}\times 40\ \Longrightarrow \ v_{a}\times a_{j}\ -\ v_{j}\times a_{j}\ =\ -\ v_{j}\times 40\ \Longrightarrow \ a_{j}\times (v_{a}\ -\ v_{j})\ =\ -\ v_{j}\times 40\ \Longrightarrow \ a_{j}\ =\ {\frac {-\ v_{j}\times 40}{v_{a}\ -\ v_{j}}}}}

In deze laatste formule kun je nu getallen gaan invullen. Het verschil in te lopen afstand is opgegeven in meter, dus de snelheid moet ook in een eenheid in meters:

{\ce {a_{j}\ =\ {\frac {-\ v_{j}\times 40}{v_{a}\ -\ v_{j}}}\ =\ {\frac {-25\times 40}{18\ -\ 25}}\ =\ {\frac {-1000}{-7}}\ =\ 142,86meter}}

Het jactluipaard moet 142,86 meter lopen. Het doet hier 142,86 / 25 = 5,71 seconde over, veel minder dan de 15 die hij de snelheid kan volhouden. De antiloop heeft pech en het jachtluipaard een lunch.