Wiskunde/Integraal

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Gebruik[bewerken]

De integraal wordt gebruikt om twee redenen:

  • De oppervlakte tussen een grafiek en de x-as aanduiden
  • Een oneindige som aanduiden

Riemann-sommen[bewerken]

De Duitse wiskundige Riemann wou op een of andere manier de oppervlakte bepalen tussen de grafiek van een functie en de x-as op het interval [a,b]. Hij redeneerde als volgt: als ik het interval verdeel in n stukjes met breedte en die oppervlakte zou opvullen met rechthoekjes boven die stukjes met hoogte , waarin het midden van zo'n stukje is, dan is de gezamenlijke oppervlakte van die rechthoekjes bij benadering gelijk aan de oppervlakte tussen de x-as en de grafiek van .

Dus hij schreef op:

Integraal[bewerken]

Dan redeneerde hij verder. Als ik steeds meer rechthoekjes neem en de breedte van die rechthoekjes zéér klein laat worden, dus , krijg ik precies de oppervlakte, die hij integraal noemde. In plaats van een somteken, schreef hij voor die oneindige som van oneindig kleine rechthoekjes een , een langgerekte S, en voor de oneindig kleine schreef hij dx.

Eigenlijke integraal[bewerken]

Als een functie f integreerbaar is over het interval noemt men de integraal eigenlijk. Stel dat er een functie is gegeven. Je wil de oppervlakte tussen grafiek en x-as bepalen in het interval . Dan is dit simpelweg de integraal van de functie over het interval berekenen:

Oneigenlijke integraal[bewerken]

Een oneigenlijke integraal is een limiet van integralen waarvan de ondergrens naar nadert of de bovengrens naar of één van beide integratiegrenzen een punt nadert waar de integrand niet gedefinieerd is.

Oneigenlijke integraal over een begrensd interval[bewerken]

Als een functie over elk interval integreerbaar is en bestaat, dan noteren we

Of analoog, als over elk interval integreerbaar is en bestaat, dan noteren we

Als de integraal enkel bestaat in deze uitgebreide betekenis, noemt men haar oneigenlijk.

Twee hoofdstellingen van de integraalrekening[bewerken]

Eerste hoofdstelling[bewerken]

Simpel gezegd: Integreren is de inverse bewerking van differentiëren.

Tweede hoofdstelling[bewerken]

Waarbij f een primitieve functie wordt genoemd van f '.

Beknopte, meestgebruikte integralen[bewerken]

Eigenlijke integralen[bewerken]

Alle andere integralen kunnen hieruit makkelijk worden afgeleid.

Oneigenlijke integralen[bewerken]

met de Gammafunctie.


Hierbij is x een onafhankelijke variable en z een constante


bron[bewerken]

Cursus wiskundige analyse 1; universiteit Gent; Prof. C. Impens.

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.