Wiskunde/Integraal

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Jump to search

Gebruik[bewerken]

De integraal wordt gebruikt om twee redenen:

  • De oppervlakte tussen een grafiek en de x-as aanduiden
  • Een oneindige som aanduiden

Riemann-sommen[bewerken]

De Duitse wiskundige Riemann wou op een of andere manier de oppervlakte bepalen tussen de grafiek van een functie en de x-as op het interval [a,b]. Hij redeneerde als volgt: als ik het interval verdeel in n stukjes met breedte en die oppervlakte zou opvullen met rechthoekjes boven die stukjes met hoogte , waarin het midden van zo'n stukje is, dan is de gezamenlijke oppervlakte van die rechthoekjes bij benadering gelijk aan de oppervlakte tussen de x-as en de grafiek van .

Dus hij schreef op:

Integraal[bewerken]

Dan redeneerde hij verder. Als ik steeds meer rechthoekjes neem en de breedte van die rechthoekjes zéér klein laat worden, dus , krijg ik precies de oppervlakte, die hij integraal noemde. In plaats van een somteken, schreef hij voor die oneindige som van oneindig kleine rechthoekjes een , een langgerekte S, en voor de oneindig kleine schreef hij dx.

Eigenlijke integraal[bewerken]

Stel dat er een functie is gegeven. Je wil de oppervlakte tussen grafiek en x-as bepalen in het interval . Dan is dit simpelweg de integraal van de functie over het interval berekenen:

Oneigenlijke integraal[bewerken]

Is in wezen hetzelfde als de eigenlijke integraal, maar wordt berekend van tot . Dit wordt genoteerd als:

.

Twee hoofdstellingen van de integraalrekening[bewerken]

Eerste hoofdstelling[bewerken]

Simpel gezegd: Integreren is de inverse bewerking van differentiëren.

Tweede hoofdstelling[bewerken]

Waarbij f een primitieve functie wordt genoemd van f '.

Beknopte, meestgebruikte integralen[bewerken]

Eigenlijke integralen[bewerken]

Alle andere integralen kunnen hieruit makkelijk worden afgeleid.

Oneigenlijke integralen[bewerken]

met de Gammafunctie.


Hierbij is x een onafhankelijke variable en z een constante


bron[bewerken]

Cursus wiskundige analyse 1; universiteit Gent; Prof. C. Impens.

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.