Verzamelingen/Carthesisch product

Na het bestuderen van dit hoofdstuk:

Weet je wat het Cartetisch product van twee verzamelingen is

Kun je zelf het product van twee verzamelingen samenstellen

Carthesisch product

In het vorige hoofdstuk zagen we hoe we met de doorsnede, de vereniging en het verschil van twee verzamelingen nieuwe verzamelingen konden maken. In dit hoofdstuk komen we nog een manier tegen: het product van twee verzamelingen.

Stel we hebben twee verzamelingen A en B. Dan definiëren we het product van die twee verzamelingen als :

A X B = {(a,b):a$\in$A en b$\in$B}

Of in gewoon Nederlands: als we twee verzamelingen A en B hebben, dan bestaat het product uit alle verschillende paren elementen van die twee verzamelingen.

Voorbeeld 1:

Laat A={1, 2, 3) en B={5, 6}

Dan A X B = {(1,5), (1,6), (2, 5), (2,6), (3,5), (3,6)}

En B X A = {(5,1), (5,2) (5,3) (6,1), (6,2) (6,3)}

A X B kunnen we meer visueel weergeven als:

	5	6
1	(1,5)	(1,6)
2	(2,5)	(2,6)
3	(3,5)	(3,6)

Voorbeeld 2:

$\mathbb {N}$ x $\mathbb {N}$ = verzameling van alle roosterpunten in het platte vlak.

Eigenschappen

• Voor eindige verzamelingen A en B geldt duidelijk dat:| A X B | = | A | x | B |. Immers bij de paren (a, b) hebben we voor a |A| mogelijkheden en voor b hebben we |B| verschillende mogelijkheden.
• In het eerste voorbeeld zien we dat A x B niet hetzelfde is als B X A. De commutatieve eigenschap die we bij het vermenigvuldigen van getallen kennen (2 x 3 = 3 x 2), gaat hier dus niet op.
• A X $\phi$ = $\phi$ = $\phi$ X A, oftewel als een van de te vermenigvuldigen verzamelingen leeg is, dan is het product ook leeg.
• Het Cartesisch product is evenmin associatief: (A X B) X C ≠ A X (B X C)
• Merk op dat $\mathbb {R}$ X $\mathbb {R}$ het platte vlak geeft.

Kardinaliteit

Wanneer A en B eindige verzamelingen zijn, dan geldt:

| A X B | = | A | x | B |

Oftewel, de kardinaliteit van het Carthesisch product van 2 verzamelingen is het product van de kardinaliteit van de 2 verzamelingen. Dit is gemakkelijk te zien aan de weergave van voorbeeld 1 hierboven.

A x A

Wanneer we het product van een verzameling A met zichzelf nemen, zoals A X A, dan schrijven we dit ook als A².

Generalisatie

Natuurlijk kunnen we dit generaliseren. Wanneer we 3 verzamelingen A, B en C hebben, dan kunnen we praten over A X B X C = {(a,b,c)|a$\in$A, b$\in$B, c$\in$C}

En nog verder: A₁ X A₂ X A₃ ... X A_n = Aⁿ = {(a₁, a₂, a₃, ... a_n)|a₁ $\in$ A₁, a₂ $\in$ A₂, a₃ $\in$ A₃, ... a_n) $\in$A_n}.

Engels

• Carthesisch product : Cartesian product

Opgaven

• Zijn de volgende beweringen Waar of Onwaar?

IV.1.i) Het Cartesisch product van A={1} X $\phi$ heeft geen elementen

IV.1.ii) | A={1} X $\phi$ | = 1

IV.1.iii) Het Cartesisch product van A={1} X B={a,b} = {(a,1), (b,1)}

• IV.2a Als A={a, b} en B={3,4}, schrijf dan de elementen op van A X B.
• IV.2a Als A={a, b} en B={3,4}, schrijf dan de elementen op van B X A.
• IV.3a Als L={Waar, Onwaar}, wat zijn dan de elementen van L²?
• IV.3b Als L={Waar, Onwaar}, wat is dan de kardinaliteit van L²?
• IV.3c Als L={Waar, Onwaar}, wat is dan de kardinaliteit van L³?
• IV.3d Wat denk je dat de algemene formule is voor de kardinaliteit van Lⁿ als L={Waar, Onwaar}?
• IV.4 Schrijf alle elementen op van L³ als L={W, O}

Samenvatting: In dit hoofdstuk heb je geleerd dat:

wat het product van twee verzamelingen is

hoe je dit zelf kunt samenstellen