Transmissielijnen/Complex rekenen

Korte samenvatting

Voor de passieve componenten weerstand (R), condensator (C) en spoel (L) gelden de volgende relaties tussen de stroom $i$ en spanning $u$:

$u=Ri$

$i=C\,{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}$

$u=L\,{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}$

Voor sinusvormige signalen met hoekfrequentie ω schrijven we:

$u={\hat {u}}\cdot \cos(\omega t+\phi )\,$

en

$i={\hat {i}}\cdot \cos(\omega t+\psi )$

De spanning u wordt gegeven door twee grootheden:

de amplitude ${\hat {u}}$

en

de fasehoek $\varphi$.

Analoog voor de stroom $i$.

Met behulp van de formule van Euler kunnen we voor de spanning $u$ ook schrijven:

$u=Re({\hat {u}}e^{j(\omega t+\varphi )})$

We noemen het deel zonder de tijdfactor een phasor:

${\underline {u}}={\hat {u}}e^{j\varphi }$ (ook wel genoteerd als $|u|\angle \varphi$),

zodat:

$u=Re({\underline {u}}e^{j\omega t})$.

Het enige interessante deel hierin is ${\underline {u}}$, deze bepaalt $u$. We rekenen verder alleen met ${\underline {u}}$.

De bovengenoemde relaties zijn equivalent met:

${\underline {u}}=R{\underline {i}}$

${\underline {i}}=j\omega C{\underline {u}}$,

${\underline {u}}=j\omega L{\underline {i}}$

Al deze vergelijkingen hebben dezelfde vorm als de wet van Ohm, met

${\underline {u}}$ de spanning,

${\underline {i}}$ de stroom

en als impedantie

$R$ voor een ohmse weerstand $R$

${\frac {1}{j\omega C}}$ voor een capaciteit $C$

$j\omega L$ voor een zelfinductie $L$

Het rekenen wordt hierdoor een stuk eenvoudiger!

NB De vereenvoudigde (polaire) notatie

$z=|z|\angle \varphi$

voor een complex getal is erg gemakkelijk bij vermenigvuldigen en delen. Immers, als:

$z_{1}=a_{1}\angle \varphi _{1}$

en

$z_{2}=a_{2}\angle \varphi _{2}$,

dan is:

$z_{1}z_{2}=a_{1}a_{2}\angle (\varphi _{1}+\varphi _{2})$

en

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a_{1}}{a_{2}}}\angle (\varphi _{1}-\varphi _{2})$.