Wiskunde/Gebroken (lineaire) functies

Definitie

Zoals een gebroken getal het quotiënt is van twee gehele getallen, zo is een gebroken functies het quotiënt van twee veeltermen. De noemer is dus voor een of meer waarden van $x$ gelijk aan 0, en de functie is daar onbepaald. Die waarde(n) van $x$ behoren niet tot het domein van de functie. De grafiek van de functie valt daardoor in stukken uiteen.

Een hyperbool met de formule ${\begin{aligned}f(x)={\frac {1}{x}}\end{aligned}}$.

Het eenvoudigste voorbeeld van een gebroken functie is de hyperbool

$f(x)={\frac {1}{x}}$

Deze functie bestaat niet voor $x=0$, want delen door nul kan niet. Naarmate $x$ dichter bij nul komt, schiet de waarde van de functie steil omhoog voor $x>0$ en omlaag voor $x<0$. De in de grafiek nooit bereikte grenslijn $x=0$ wordt een asymptoot genoemd. Het punt $x=0$ behoort niet tot het domein van $f$. Ook $f=0$ is een asymptoot: hoe verder $x$ van 0 weg is, hoe dichter de functiewaarde bij 0 komt, maar de waarde wordt nimmer bereikt. De waarde 0 behoort niet tot het bereik van de functie.

Om aan te geven dat de waarde 0 geen geldig punt is in de functie wordt er in de wiskunde gebruik gemaakt van het begrip limiet, dat wordt aangegeven door het woordje $\lim$. De limiet houdt in dat wanneer de formule dichter bij het perforatiepunt (het punt waar de functie geen waarde heeft) komt, de aangegeven waarde geen oplossing heeft. De notatie gaat als volgt:

$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)={\frac {1}{x}}$.

Het stuk $\lim _{x\rightarrow 0}$ betekent dat de functie naar het punt $x=0$ toegaat. Het gedeelte $\lim$ geeft dan aan dat er op dat punt iets ontbreekt.

Rekenen met de limiet

Rekenen met een limiet helpt de wiskundige met het oplossen van een formule zodanig dat er voor elk getal toch een waarde uitgerekend kan worden, hoewel dit zonder limiet niet mogelijk is. Vooral met tweedegraadsfuncties, bijvoorbeeld door middel van de product-som-methode, kan er zeer goed met een limiet gerekend worden. Zodra zowel de noemer als de teller -mits deze ontbonden moet worden- ontbonden is, kunnen de producten die zowel in de teller als in de noemer aanwezig zijn door elkaar worden gedeeld, wat leidt tot het herleiden van een breuk. Bij voorkeur wordt een gebroken functie door deze tactiek herleid tot een eerste-, tweede-, derde-, enz. graadsfunctie. De ontstane functie is dan geen hyperbool meer en kan makkelijker benaderd worden door de wiskundige regels. Een visueel voorbeeld met formules volgt hieronder.

$\lim _{x\rightarrow -5}f(x)={\frac {x^{2}+9x+20}{x+5}}\rightarrow \lim _{x\rightarrow -5}f(x)={\frac {(x+4)(x+5)}{(x+5)}}\rightarrow \lim _{x\rightarrow -5}f(x)={x+4}$

Zoals hierboven staat kan een gebroken kwadratische functie dus worden omgezet tot een lineaire functie. Maar voor de functie $f(x)$ geldt nog steeds dat er punt ontbreekt op de grafiek van $f(x)$. Dit kan worden bewezen doordat $\lim _{x\rightarrow -5}$ nog steeds voor de functie$f(x)$ staat. Om te berekenen wat de coördinaten van het perforatiepunt zijn, moet de x die onder de lim staat ingevuld worden als de x in de functie $f(x)$. Omdat het x-coördinaat in het perforatiepunt van deze grafiek dus gelijk is aan -5, wordt het y=coördinaat achterhaald door de -5 op de plaats van de x te stoppen. De uitkomst is dan $(-5,-1)$ als niet-bestaand punt in de grafiek van $f(x)$.Sjabloon:Beginnetje