Mechanica van materialen/Spanning

Spanning wordt als een gemiddelde gedefinieerd, namelijk de kracht die inwerkt op een lichaam gedeeld door het oppervlak waarop die kracht werkt. Normaalspanningen werken loodrecht op het oppervlak, en rekken het oppervlak uit; schuifspanningen werken evenwijdig aan het oppervlak en verschuiven het oppervlak.

Neem een kracht, dF, werkend op een elementair stukje oppervlak, dA. Dit oppervlak staat haaks op de x-as. We delen de kracht dF op in een deel evenwijdig aan de x-as, nl. dF_x, en analoog voor dF_y en dF_z.

Vooraleerst voeren een notatie τ_xy in, dit is een kracht werkend op een oppervlak haaks op de "x-as" (eerste subscript), in de richting van de "y-as" (twee subscript).

De normaalspanning is dan σ_x=τ_xx = dF_x/dA; de schuifspanningen worden gegeven door τ_xy = dF_y/dA enτ_xz = dF_z/dA. Merk op dat er twee richtingen zijn waarin de schuifspanningen werken, en slechts één waarlangs de normaalspanning werkt.

Nemen we nu een infinitesimaal stukje volume ipv oppervlak, een balk met zijden dx, dy, en dz. Op dit volume dV kunnen dan negen verschillende spanningen werken, deze kunnen in een zgn. "spanningstensor" geschreven worden:

$\left({\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{matrix}}\right)$

Er kan bewezen worden dat een schuifspanning τ_ij = τ_ji , bijvoorbeeld τ_xy = τ_yx. Dit is de gelijkwaardigheid van schuifspanningen. Bovenstaande tensor wordt dan vereenvoudigd tot: $\left({\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{matrix}}\right)$

Zo blijven nog zes onafhankelijke onbekenden over.

Als in het geval van "vlakspanning" gewerkt wordt (alle spanning, maar niet noodzakelijk alle rek (Poisson), in één vlak), vereenvoudigt de tensor zich tot (noem τ_xy = τ_yx = τ):

$\left({\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau \\\tau &\sigma _{y}\end{matrix}}\right)$

Evenwicht dV in y-richting

Veronderstellen we dat op het elementair volumedeeltje dV een kracht in de x-richting werkt van f_x en analoog voor de y-richting: f_y Schrijven we het evenwicht van dV uit, dan kan bewezen worden dat het volume in evenwicht is als aan de volgende voorwaar

${\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau }{\partial y}}=f_{x}$

${\frac {\partial \tau }{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}=f_{y}$

Zijn de krachtenfuncties f_x en f_y gekend, dan hebben we aldus drie onbekenden en twee vergelijkingen.