Matrixrekening/Tips voor het berekenen van determinanten

Tips voor het berekenen van determinanten

1. Nulrij of -kolom

De determinant van een n×n-matrix die een 0-rij of een 0-kolom bevat is gelijk aan 0.

Beide determinanten ${\begin{vmatrix}0&6\\0&5\end{vmatrix}}$ en ${\begin{vmatrix}6&0&1\\0&0&0\\3&9&-5\end{vmatrix}}$ zijn dus 0.

De eerste matrix heeft een 0-kolom, de tweede matrix een 0-rij.

2. Gelijke rijen of kolommen

De determinant van een n×n-matrix die twee gelijke rijen of kolommen bevat is gelijk aan 0.

Beide determinanten ${\begin{vmatrix}1&6\\1&6\end{vmatrix}}$ en ${\begin{vmatrix}6&6&-8\\6&6&0\\6&6&-4\end{vmatrix}}$zijn dus 0. De eerste matrix bevat 2 dezelfde rijen, de tweede matrix bevat 2 dezelfde kolommen.

3. Evenredige rijen en kolommen

Zoals bij punt 2 staat beschreven is de determinant D van een matrix altijd 0 als de matrix 2 gelijke rijen of kolommen bevat. Meer dan logisch is dan ook dat de determinant D ook 0 is als 2 rijen of kolommen elkaars veelvouden zijn.

Dus bij de matrix ${\begin{vmatrix}2&4\\4&8\end{vmatrix}}$ maar ook bij de matrix ${\begin{vmatrix}6&3&9\\2&1&3\\6&12&-4\end{vmatrix}}$ is de determinant D dus 0.

De eerste matrix bevat namelijk 2 kolommen die elkaars veelvouden zijn. Als men namelijk de eerste kolom *2 zou doen komen we weer uit op de 4 en 8 van de andere kolom. Dit geldt ook voor de tweede matrix waar de eerste twee rijen evenredig zijn (de tweede rij *3 of de eerste rij/3).

4. Verwisselen van rijen/kolommen

Het is ook mogelijk twee rijen of twee kolommen te verwisselen. De determinant verandert dan alleen van teken. Dus bij deze matrix:

${\begin{vmatrix}2&4&5\\4&1&0\\3&3&3\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}4&1&0\\2&4&5\\3&3&3\end{vmatrix}}$