Gebruiker:Piet-c/Lineaire algebra/Lineaire ruimte

Inhoudsopgave Gebruiker:Piet-c/Lineaire algebra

Hoofdstukken Lineaire ruimte Lineaire combinatie Lineair onafhankelijk stelsel Volledig stelsel Basis Dimensie Rang Coördinatisering Coördinatentransformatie Lineaire afbeelding Kern Matrix Getallenruimte Kolom- en rijvector Eenvorm Duale ruimte Covariant en contravariant Transformaties Inproduct Bilineaire en kwadratische producten Tensor

Een lineaire ruimte of vectorruimte is een verzameling met een structuur, een lineaire structuur. We kunnen de elementen bij elkaar optellen en we kunnen veelvouden van de elementen maken, d.w.z. een element vermenigvuldigen met een "getal" uit het lichaam van "getallen". Een "getal", een element uit het lichaam zullen we in het vervolg een scalair noemen.

Definitie 1.1

Een lineaire ruimte of vectorruimte over een lichaam K is een drietal $(V,+,\cdot )$, bestaande uit een verzameling V met daarop gedefinieerd een optelling $+:\,V\times V\to V$ en een afbeelding $\cdot :\,K\times V\to V$, scalaire vermenigvuldiging geheten, die voldoen aan de volgende voorwaarden, die inhouden dat we op gewone wijze in V kunnen optellen en met scalairen veelvouden kunnen berekenen:

(We noteren op de gebruikelijke wijze x+y voor +(x,y), en α.x of alleen αx voor $\cdot (\alpha ,x)$.)

1. Voor alle x,y ∈ V is x+y ∈ V en x+y = y+x (commutativiteit optelling)
2. Voor alle x,y,z ∈ V is (x+y)+z = x+(y+z) (associativiteit optelling)
3. Er is een element 0 ∈ V, waarvoor geldt: x+0 = x voor alle x ∈ V
4. Voor alle x ∈ V is er een -x ∈ V, waarvoor x+(-x) = 0
5. Voor alle α ∈ K en x ∈ V, is αx ∈ V
6. Voor alle x ∈ V is 1x = x
7. Voor alle α ∈ K en x,y ∈ V, is α(x+y) = αx + αy
8. Voor alle α,β ∈ K en x ∈ V, is (α+β)x = αx + βx
9. Voor alle α,β ∈ K en x ∈ V, is α(βx) = (αβ)x

Als gevolg van deze eigenschappen kunnen we a.h.w. gewoon rekenen met vectoren. De belangrijkste regels waarvan we meestal gedachteloos gebruik maken, kunnen we het best eerst algemeen aantonen.

Stelling 1.1

Er is maar één 0.

Bewijs:

Stel ook 0' is een nul, zodat ook voor alle x geldt: x+0'=x. Dan is dus 0 = 0 + 0' = 0' + 0 = 0'.

Stelling 1.2

Voor alle x, y en z geldt: als x + y = x + z, dan is y = z.

Bewijs:

y = –x + x + y = –x + x + z = 0 + z = z.

Stelling 1.3

Er is maar één tegengestelde.

Bewijs:

Stel x + y = 0, dan x + y = x + (–x), dus mbv stelling 1.2: y = –x.

Stelling 1.4

Voor alle x en y geldt: als x = x + y, dan is y = 0.

Bewijs:

x + 0 = x = x + y, dus mbv stelling 1.2: y = 0.

Stelling 1.5

Voor alle x is 0x = 0.

Bewijs:

0x = (0 + 0)x = 0x + 0x, dus mbv stelling 1.4: 0x = 0.

Stelling 1.6

Voor alle α is α0 = 0.

Bewijs:

α0 = α(0 + 0) = α0 + α0, dus mbv stelling 1.4: α0 = 0.

Stelling 1.7

Voor alle x is (–1)x = –x.

Bewijs:

(–1)x + x = (–1)x + 1x = (–1 + 1)x = 0x = 0, dus (–1)x = –x.

Stelling 1.8

Voor alle x en α geldt: als αx = 0, dan is α = 0 of x = 0.

Bewijs:

Stel α ≠ 0, dan: x = 1x = (1/α)αx = (1/α)0 = 0.

Stelling 1.9

Voor alle x ≠ 0 geldt: als αx = βx, dan is α = β.

Bewijs:

(α - β)x = αx + (-βx) = αx + (-αx) = 0, dus α - β = 0, waaruit het gestelde volgt.

Stelling 1.10

Voor alle α ≠ 0 geldt: als αx = αy, dan is x = y.

Bewijs:

x = (1/α)αx = (1/α)αy = y.

Notatie

Omdat het nooit tot verwarring leidt, zullen we het element 0 van V gewoon als 0 schrijven. Verder schrijven we x–y voor x+(–y).

Voorbeeld

We bekijken de punten in het platte vlak, dus $V=\mathbb {R} ^{2}$. De voor de hand liggende optelling en scalaire vermenigvuldiging met reële getallen voldoen aan:

$\,(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

$\,0=(0,0)$

$\,-(a,b)=(-a,-b)$

$\,a\cdot (b,c)=(ab,ac)$

Daarmee is V een lineaire ruimte over $\mathbb {R}$.

Voorbeeld

Noem C de verzameling van reële continue functies op het interval (0,1) en definieer op de gebruikelijke manier de optelling en scalaire vermenenigvuldiging:

$(f+g):\,x\mapsto f(x)+g(x)$

$\alpha f:\,x\mapsto \alpha f(x)$

Dan is C een lineaire ruimte over $\mathbb {R}$.

Soms is een deel van een lineaire ruimte zelf ook een lineaire ruimte over hetzelfde lichaam, zoals alle scalaire veelvouden van een vector. We spreken dan van een lineaire deelruimte.

Definitie 1.2

Een lineaire deelruimte D van een lineaire ruimte V over een lichaam K is een deelverzameling van V die een lineaire ruimte is over hetzelfde lichaam K.

Hoe kunnen we zien dat een deelverzameling D van een vectorruimte V een deelruimte is? Omdat de vectoren in een deel van een vectorruimte V al de belangrijkste eigenschappen hebben, is het voldoende om aan te tonen dat met elke vector ook de scalaire veelvouden daarvan in D zitten en met elk tweetal ook hun som. Deze eisen garanderen juist dat lineaire combinaties van vectoren in D, ook in D liggen. De stelling geven we daarom zonder bewijs.

Stelling 1.11

Een deelverzameling D van een lineaire ruimte V is een lineaire deelruimte als:

$\,x\in D\Rightarrow \alpha x\in D$ voor alle α

en

$\,x,y\in D\Rightarrow x+y\in D$.