Dualiteit

Al sinds de tijd van Huygens en Newton bestond er onenigheid over de aard van het licht. Huygens dacht dat het een golfverschijnsel was, Newton beschreef het eerder als een stroom deeltjes. Geen van beiden had echt doorslaggevend bewijs van zijn stelling. De discussie hierover zou nog eeuwenlang de gemoederen verhitten

Diffractie. Fresnel

Later vond men bewijs dat licht zeker golfachtige verschijnselen vertoonde. Wanneer je licht op een rooster of een tralie laat vallen onstaat er diffractie als dit tralie bestaat uit een aantal evenwijdige lijnen (krassen) die een onderlinge afstand in de orde van micrometers ligt. De CD is een goed voorbeeld, daarop zijn om informatie vast te leggen putjes aangebracht van ongeveer deze grootte-orde. Het gevolg is dat je andere kleuren ziet wanneer je er onder een andere hoek tegenaan kijkt. Dit is omdat ons gezichtvermogen verschillen in golflengte van licht als een verschil in kleur waarneemt. We kunnen de 'kleur' van het licht dus relateren aan ofwel de golflengte λ ofwel de frequentie ν van het licht, waar bij geldt:

\lambda \nu =c

De constante c is de lichtsnelheid van ongeveer 300.000 km/s <iets over fresnel?>

In de negentiende eeuw helde men vanwege de diffractieverschijnselen sterk over naar de gedachte dat licht een golf was en concludeerde daaruit dat het dus geen deeltjesstroom kon zijn.

Het probleem in deze redenering zit in het woordje dus, maar daarover later.

Fotonen

Aan het einde van de 19de eeuw werden er echter een aantal experimenten gedaan die niet met dit alleen-een-golf idee te verklaren zijn. Een voorbeeld daarvan is het fotoëlektrisch effect. Dit verschijnsel treedt op wanneer je een stuk metaal -liefst in vacuüm- beschijnt met licht van één golflengte (monochromatisch licht). Bij sommige kleuren licht treden er dan elektronen uit het metaal die de lege ruimte invliegen. De vaart waarmee ze dat doen (hun kinetische energie) hangt rechtstreeks af van de frequentie van het gekozen licht. Bovendien is er een soort drempelwaarde: onder een zekere frequentie gebeurt er niets. Men noemt deze drempelwaarde de werkfunctie Φ. Hij verschilt van metaal tot metaal. Wat de aanhangers van de allee-een-golf theorie bijzonder verbaasde is dat de kinetische energie van de kleur (frequentie) afhangt, in plaats van de felheid (intensiteit) van het licht. Wanneer je het licht intenser maakt krijg je gewoon meer elektronen vrij, maar hun energie verandert niet.

Dit bleek alleen maar goed te verklaren door aan te nemen dat:

licht (ook!) uit een stroom deeltjes bestaat, fotonen genaamd
ieder foton een energie $E=h\nu$ heeft

De constante h wordt naar zijn ontdekker de constante van Planck genoemd. Het is een bijzonder klein getal (h= 6,626 10^-34 Js).

Als de energie van het foton niet genoeg is om het elektron uit het metaal los te maken (d.w.z. als E kleiner is dan de werkfunctie Φ, gebeurt er niets. Anders komen er elektronen vrij met een kinetische energie:

E_kinetisch = E_foton - Φ

Uitbreiding van het dualiteitsbegrip

Het eeuwenoude geschil tussen de volgelingen van Newton en Huygens werd daarmee uiteindelijk beslecht door te stellen dat de beiden gelijk hadden. Deze gedachte wordt dualiteit genoemd. Het bleek dus niet juist om uit het feit dat er golfverschijnselen aan te tonen waren de gevolgtrekking te maken dat het dus geen deeltjesstroom is.

Natuurlijk bleef het een beetje vreemd waarom alleen licht -en in het algemeen alle elektromagnetische straling dus ook radiogolven of Röntgenstraling- zich zo zou gedragen, soms als golf dan weer als deeltje. Het bleek echter al snel dat dit tweeslachtig gedrag zich niet tot licht en zijn fotonen beperkt. Men had naast Röngten-fotonen intussen ook elektronen en neutronen ontdekt en beschoot kristallijne vaste stoffen met alle drie. Onder de juiste omstandigheden ontstonden er prachtige diffractiepatronen met alle drie. Dus ook voor elektronen en neutronen die men voorheen eerder als deeltjes zag geldt dat een stroom ervan golfeigenschappen heeft. Dualiteit is dus algemeen en geldt voor alle 'deeltjes'.

Dankzij de Broglie (uigesproken ongeveer als 'de bruie') kwam men erachter dat de golflengte van een (golf)deeltje te schrijven is als:

\lambda ={{h} \over {mv}}

Ook in deze formule komt de constante van Planck voor die zoals gezegd een bijzonder klein getal is. Dit is meteen de reden waarom de golflengte van voorwerpen op dagelijkse grootte, zeg een voetbal zodanig klein is dat er geen golfverschijnselen waar te nemen zijn. Voor heel kleine deeltjes die een heel kleine massa m hebben wordt dat anders. Voor elektronen in een atoom bijvoorbeeld is het golfgedrag de oorzaak van het gedrag dat wij chemie noemen.

Staande golven

Iedereen die muziek maakt weet wel iets van staande golven. Als je een golfverschijnsel 'opsluit', bijvoorbeeld door een snaar te spannen tussen twee vaste punten (denk aan een gitaar) krijg je slechts één bepaalde toon, andere worden niet geproduceerd (tenzij je de lengte van de snaar verandert door hem op een fret af te knijpen). Hetzelfde principe geldt voor de luchtkolom in een blaasinstrument, zoals een fluit of een trompet. Bij een bepaalde lengte hoort een bepaalde toon, de grondtoon genaamd.

Toch kun je zonder de lengte van de kolom of snaar te veranderen meer dan één toon produceren. Op een blaasinstrument gebeurt dat door overblazen. Een snaar kun je precies in het midden tegenhouden. Je krijgt dan een flageolettoon die precies een oktaaf hoger is dan de grondtoon. Men spreekt van harmonischen: de eerste of grondtoon, de tweede (oktaaf), derde (oktaaf + kwint), vierde (twee oktaven) enzovoorts. De frequenties van deze harmonischen verhouden zich als 1:2:3:4:5:6 enz. Vooral op hoorns kun je heel hoog komen met overblazen.

Deze harmonische staande golven zijn een typisch golfverschijnsel dat veroorzaakt wordt doordat op het punt waar de snaar vastgehouden wordt geen beweging mogelijk is. Daar wordt de golf gedempt en moet dus een knoop zitten. Tussen beide aangrijpingspunten zit altijd een geheel aantal knopen en buiken. Buiken zijn plekken waar de trilling zijn grootste amplitude bereikt.

Staande golfdeeltjes in een doos

Als deeltjes golfkarakter hebben, vertonen zij dan ook harmonischen als je ze opsluit? Het antwoord is ja.

Laten we eerst de de Broglie golflengte wat anders schrijven. We weten dat de kinetische energie van een deeltje met massa m en snelheid v gegeven is door:

$E_{kin}={1 \over 2}m.v^{2}={1 \over {2m}}(m.v)^{2}$

Uit

\lambda ={{h} \over {mv}}

volgt:

mv={{h} \over {\lambda }}

(mv)^{2}=({{h} \over {\lambda }})^{2}

Dus:

$E_{kin}={1 \over 2}m.v^{2}={1 \over {2m}}({{h} \over {\lambda }})^{2}$

Als we nu een deeltje opsluiten in een doos van afmeting a, moet de halve golflengte λ/2 daar een geheel aantal (n) keren in passen. Dat verzekert namelijk dat er altijd een knoop zit aan beide uiteinden (zie afbeelding). Dit wil dus zeggen dat

a=n.{\lambda  \over 2}

{{2a} \over {n}}=\lambda

Als we dit invullen in de formule voor de kinetische energie krijgen we:

$E_{kin}={1 \over 2}m.v^{2}={1 \over {2m}}({{h} \over {\lambda }})^{2}={1 \over {8m}}{{h^{2}.n^{2}} \over {a^{2}}}$

Uit deze afleiding blijkt dat ons golfdeeltje alleen bepaalde (kinetische) energieën kan hebben, net zoals die bepaalde harmonische tonen die uit een luchtkolom komen. Immers n is een geheel getal n=1,2,3,4,....

Omdat anders dan wat gewend zijn bij een auto ons deeltje alleen maar bepaalde snelheden kan hebben spreken we van kwantisatie. Het gehele getal n wordt een kwantumgetal genoemd.

Atomen

De dampkring van de aarde blijft gevangen rond onze planeet door de zwaartekracht. Hoewel er niet echt een deksel op de dampkring zit, kunnen we dat toch als een soort doos beschouwen. Immers het gasmengsel dat we lucht noemen blijft (gelukkig) wel gevangen. Rond een atoomkern treedt hetzelfde op. De positieve lading van de kern houdt de elektronen op een vergelijkbare wijze gevangen als de atomsfeer rond de aarde. De kracht is wel anders van aard: in het ene geval is het de zwaartekracht in de andere de elektrostatische aantrekking. In beide gevallen is er sprake van een potentiële energie die afhangt van de afstand tot de kern. In het deeltje-in-de-doos afleiding hebben we echter helemaal niet gepraat over potentiële energie. Of eigenlijk hebben we er verkapt over gepraat. Je zou kunnen zeggen dat in het doosje de potentiaal nul is en erbuiten oneindig wordt. Aan de wand van de doos moet de golf daarom gedempt worden tot een knoop.

Er bestaat een manier om veel ingewikkeldere potentialen in rekening te brengen. Schrödinger heeft daartoe een vergelijking opgesteld. Daarmee is het mogelijk althans voor een simpel atoom als waterstof precies uit te rekenen wat voor staand golfpatroon een elektron rond de kern kan vormen en welke energieën het deeltje kan hebben. Ook hier weer krijgen we buiken en knopen en kunnen we de energietoestand beschrijven met kwantumgetallen. Omdat we een drie-dimensionaal probleem hebben hebben we er drie nodig. Ze zijn bekend als n,l en m.