Fysica/Trillingen

Trillingen

Een trilling is een periodiek herhaalde beweging. Dit wil zeggen dat eenzelfde beweging zich op dezelfde manier en op vaste tijdstippen herhaalt. Een trilling wordt vaak veroorzaakt door de verstoring van een stabiele evenwichtssituatie.

Enkele voorbeelden van een trillend systeem:

• Een massa op een veer die in beweging is gebracht
• Een slinger in een klok
• Geluid als trilling van de lucht.

Men onderscheidt 3 soorten trillingen:

• de vrije trilling: trilling die niet onderhevig is aan energieverliezen
• de gedempte trilling: trilling waar er energie verloren gaat waardoor het systeem terugkeert naar zijn evenwichtstoestand
• de gedwongen trilling: trilling waarbij je voortdurend een continue uitwendige kracht hebt die de energieverliezen compenseert

De vaste tijdsduur tussen twee herhalingen heet de periode T van de trilling en het aantal trillingen in een tijdseenheid de frequentie f. Tussen beide bestaat de vanzelfsprekende relatie:

$T={\frac {1}{f}}$

Hierin is:

T: De periode of de tijd nodig om één volledige trilling uit te voeren (s) f: de frequentie of het aantal trillingen uitgevoerd per seconde (Hz)

• amplitude (A): De grootte van de uitwijking (m)
• pulsatie (ω): De snelheid waarmee de trilling wordt uitgevoerd (rad/s)

Opgave: De periode van een geluid bedraagt 0,01 seconde. Bereken de frequentie.

Harmonische trilling

De eenvoudigste trilling is de harmonische trilling: de terugdrijvende kracht is daarbij evenredig met de uitwijking vanuit de evenwichtsstand. Dus als een veer eerst een stukje wordt uitgerekt en daarna tweemaal zover, is de veerkracht die evenwicht wil herstellen eveneens tweemaal zo groot als eerst.

bewegingsvergelijking

De verplaatsing die hoort bij deze trilling, gezien in de tijd, heeft de vorm van een sinus. De verplaatsing van deze trilling x wordt geschreven als:

$\,x=A\sin(\omega t)$

Hierin is:

A: de amplitude van de trilling (m) ω: de hoekfrequentie van de trilling (rad/s) t: de tijd (s)

Bij deze formule is de tijdschaal zo gekozen, dat de verplaatsing bij t=0, gelijk is aan 0.

Een trillend voorwerp heeft naast een verplaatsing ook een snelheid en een versnelling die in de tijd variëren.

Omdat de snelheid v de afgeleide is van de plaats naar de tijd, geldt voor de snelheid:

$v={\frac {d(A\sin {\omega t})}{dt}}=A\omega \cos {\omega t}$

De versnelling a is de afgeleide van de snelheid:

$a={\frac {d(A\omega \cos {\omega t})}{dt}}=-A\omega ^{2}\sin {\omega t}$

Zoals je ziet lijkt de vorm van de snelheid en de versnelling sterk op die van de verplaatsing. Ze bezitten ook dezelfde frequentie. De verplaatsing en de versnelling zijn met elkaar in tegenfase (dat wil zeggen dat als de versnelling positief is, de verplaatsing negatief is en omgekeerd. De snelheid en de verplaatsing zijn 90 graden uit fase. De snelheid bereikt zijn maximum als de verplaatsing nul is.

Dit is te aanschouwelijk te maken aan de trillingsbeweging van een slinger, zoals een schommel. De snelheid van de schommel is maximaal als de schommel door de middenpositie gaat (de uitwijking is daar nul). De snelheid is echter gelijk aan nul als de schommel in een uiteinde staat (de uitwijking is daar maximaal). Op dat punt keert de snelheid ook van teken om (de grafiek van de snelheid gaat door nul).

De veer

Een massa hangt aan een veer en wordt in beweging gebracht. Uit de tweede wet van Newton kunnen we nu afleiden dat de versnelling van de veer gegeven wordt door:

$a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {F}{m}}=-{\frac {kx}{m}}$

Een vergelijking van dit type is een differentiaalvergelijking. Differentiaalvergelijkingen zijn moeilijk op te lossen, omdat er geen eenduidige manier bestaat om deze vergelijkingen op te lossen.

Er bestaan manieren om differentiaalvergelijkingen als deze op te lossen. Bij dit probleem zullen we onze kennis van het systeem (een massa aan een veer) gebruiken om de oplossing te vinden zonder de differentiaalvergelijking te moeten oplossen.

We weten dat de massa heen en weer beweegt met een periode die onafhankelijk is van de amplitude van het systeem. Een functie die voldoet aan deze eisen is de sinusfunctie. We vervangen x in onze differentiaal vergelijking door de functie

$x=A\,\sin \omega t$

met ω een constante.

Indien we de functie in de differentiaalvergelijking invullen vinden we

${\frac {d^{2}(A\,\sin \omega t)}{dt^{2}}}={\frac {d(\omega A\,\cos \omega t)}{dt}}=-\omega ^{2}A\,\sin \omega t=-A{\frac {k}{m}}\,\sin \omega t$

Merk op dat de sinusfunctie wegvalt. We houden $\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$ over.

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

ω is de hoeksnelheid van het trillend systeem. Uit ω kunnen we de periode afleiden, omdat ook geldt

$\omega =2\pi f={\frac {2\pi }{T}}$

Hieruit volgt dat $T={\frac {2\pi }{\omega }}$

Met ${\frac {1}{\omega }}={\sqrt {\frac {m}{k}}}$ vinden we:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$

De periode hangt niet af van de amplitude A.

Trillende veer: Deze Java applet van Walter Fendt laat de verandering zien in uitwijking, snelheid, versnelling, kracht en energie van een trillende veer.

De slinger

Een slinger bestaat uit een massa aan het uiteinde van een staaf, die aan de bovenzijde draaiend is opgehangen. Een slinger werkt alleen in een zwaartekrachtsveld. Als de massa opzij getrokken wordt en daarna losgelaten, zal de massa heen en weer bewegen onder de invloed van de zwaartekracht.

Voor een slinger met een puntmassa aan het einde van een massaloze staaf met een lengte l wordt de hoek $\theta$ gedefinieerd als de hoek tussen de staaf en de vertikaal. De versnelling van de massa wordt dan gegeven door $-g\cdot \sin \theta$. g is hierin de versnelling door de zwaartekracht en is gelijk aan de hoekversnelling vermenigvuldigd met de lengte van de staaf. Hieruit volgt de volgende differentiaalvergelijking:

$\ell \cdot {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\cdot \sin \theta$

Als de amplitude klein is, geldt

$\sin \theta \approx \theta$.

Als de slinger op tijdstip 0 onder de hoek $\theta _{0}$ staat, die ook gelijk is aan de maximale hoek, voldoet de volgende functie aan de differentiaalvergelijking:

$\theta =\theta _{0}\cdot \cos \left({\sqrt {\frac {g}{\ell }}}\cdot t\right)$

Dit is de formule voor een eenvoudige harmonische beweging, waarin de factor

${\sqrt {\frac {g}{\ell }}}$ gelijk is aan ${\frac {2\pi }{T_{0}}}$

waarin T₀ de periode van een volledige oscillatie is (heen en terug). Omdat geldt

$\omega ={\sqrt {\frac {g}{\ell }}}={\frac {2\pi }{T_{0}}}$

wordt de periode van een volledige trilling eenvoudig gevonden. Dit is de Wet van Huygens:

$T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}$

Hieruit blijkt dus dat de trillingstijd van een slinger op zeeniveau alleen afhangt van de lengte. Met een slinger kan men dus ook kleine afwijkingen van g bepalen. Hieruit blijkt ook dat een slinger met dezelfde lengte op de maan, waar de zwaartekracht kleiner is, langzamer zal slingeren dan op aarde.

Dit effect heeft Vening Meinesz gebruikt om de vorm van de aarde te meten tijdens zijn beroemde reizen met de marine.

Slinger: Deze Java applet van Walter Fendt laat de verandering zien in uitwijking, snelheid, versnelling, kracht en energie van een slinger.

Resonantie

Resonantie: Applet van Walter Fendt waarin het resonantieverschijnsel wordt zichtbaar gemaakt m.b.v. een veer.