Fourieranalyse/Fourierreeks

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Is er een systematische manier om een periodieke functie f (voor het gemak kiezen we de periode 2π) te benaderen door een goniometrische reeks, dwz. een reeks van de vorm:

.

We zullen ervan uitgaan dat de functie f integreerbaar is.

De coëfficiënten zijn bepaald door de eis dat de afstand

tussen f en de reeks zo klein mogelijk is.

Deze norm is geïnduceerd door het inproduct:

.

Ten opzichte van dit inproduct vormen de sinussen en cosinussen (de constante wordt als cos(0x) opgevat) een orthogonaal stelsel, zodat de reeks gevonden wordt door orthogonale projectie van f op de afzonderlijke sinussen en cosinussen.

Orthogonaliteit[bewerken]

Voor m, n = 1, 2, ... geldt:

(de constante functie is orthogonaal met sinussen en cosinussen)

(verschillende sinussen zijn onderling orthogonaal)

(verschillende cosinussen zijn onderling orthogonaal)

(sinussen en cosinussen zijn onderling orthogonaal)

Orthogonale projectie[bewerken]

Omdat de sinussen en cosinussen orthogonaal zijn, worden de coëfficiënten gegeven door:

en voor n>0:

en analoog:

Fourierreeks[bewerken]

De reeks met boven gedefinieerde coëfficiënten heet de fourierreeks van de functie f.

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.