Discrete Kansrekening/Voorwaardelijke kans en onafhankelijkheid/Vraagstukken

3.4 Vraagstukken

A1. DK301

Bereken met behulp van de definitie de voorwaardelijke kans dat met een zuivere dobbelsteen 6 gegooid is als bekend is dat het geworpen aantal ogen even is.

A2. DK302

Bewijs stelling 3.1.2.

A3. DK303

Bereken P(ABC) als bekend is dat P(B|AC) = 1/2, P(C) = 4/5 en P(A|C) = 3/4.

A4. DK304

Ga in elk van de onderstaande gevallen na of de gebeurtenissen A₁,A₂,... een partitie van de gebeurtenis A vormen.

a. A = {alle Nederlanders}, A₁ = {blonde Nederlanders}, A₂ = {blauwogige Nederlanders}, A₃ = {Nederlanders die noch blond noch blauwogig zijn}.
b. A = {totaal ogenaantal bij 2 worpen met een dobbelsteen is even}, A₁ = {beide worpen even ogenaantal}, A₂ = {beide worpen oneven ogenaantal}.
c. A = {minstens één 6 bij drie worpen met een dobbelsteen} en A_i = {de ie keer een 6, de beide andere keren geen 6}, i = 1,2,3.

A5. DK305

Geef voor drie gebeurtenissen A, B en C een partitie van A∪B∪C.

A6. DK306

Gegeven is een partitie B₁,B₂,... van S met P(B_k) = $({\tfrac {1}{2}})^{k}$ . Bepaal m.b.v. de wet van de totale kans P(A), als P(A|B_k) = $({\tfrac {2}{3}})^{k}$.

A7. DK307

Bereken in het vorige vraagstuk m.b.v. de regel van Bayes P(B₁|A).

A8. DK308

Gegeven is dat P(A) = 0,7, P(B) = 0,4 en P(C) = 0,6. Bepaal zo mogelijk P(AB), P(BC), P(AC) en P(ABC) als A, B en C o.o. zijn.

A9. DK309

Als vraagstuk A8 maar nu bij paarsgewijze onafhankelijkheid.

A10. DK310

We werpen 3 maal een zuivere dobbelsteen. Beschrijf de bijbehorende produktruimte.

B1. DK311

Van de gebeurtenissen A en B is gegeven: P(A) = 0,3, P(B) = 0,78 en P(AB) = 0,16. Bereken P(A|B) en P(A|B^c).

B2. DK312

Van A en B is gegeven: $P(A)={\tfrac {1}{3}}$ en $P(B|{\overline {A}})={\tfrac {1}{4}}$. Bepaal P(A∪B).

B3. DK313

Van A en B is gegeven: $P(A\cup B)={\tfrac {2}{3}}$ en $P(B|{\overline {A}})={\tfrac {1}{2}}$. Bereken P(B).

B4. DK314

Uit een volledig spel van 52 kaarten wordt aselect een kaart getrokken. Het blijkt een plaatje te zijn. Hoe groot is de kans dat het een boer is?

B5. DK315

Uit een volledig spel kaarten ontving u aselect 13 kaarten.

a. Er blijken 9 zwarte bij te zijn. Wat is de kans op precies 7 schoppen?
b. Bepaal de kans dat er 3 harten, 3 ruiten, 3 klaveren en 4 schoppen getrokken zijn, als gegeven is dat er 6 rode en 7 zwarte kaarten getrokken zijn.

B6. DK316

Hoe groot is de kans dat een gezin van 4 kinderen bestaat uit 3 jongens en 1 meisje, als reeds bekend is dat

a. het gezin ten minste 3 jongens heeft,
b. de oudste drie kinderen jongens zijn?

(Neem aan dat jongen en meisje gelijke kans hebben en geboorten o.o. zijn.)

B7. DK317

Een doos bevat drie munten. Twee daarvan hebben zowel een kruis- als een muntzijde. De derde heeft twee kruiszijden. Er wordt aselect een munt uit de doos genomen en deze wordt tweemaal opgegooid. Bepaal de kans dat

a. beide worpen kruis opleveren,
b. de gebruikte munt de "valse" is als beide worpen kruis blijken op te leveren.

B8. DK318

Een kast heeft drie laden. In de eerste la liggen twee gouden munten, in de tweede twee zilveren en in de derde één gouden en één zilveren. Blindelings wordt een la gekozen en hieruit wordt willekeurig een munt genomen: deze blijkt van goud te zijn. Hoe groot is de kans dat ook de andere in die la van goud is?

B9. DK319

In een vaas bevinden zich 5 rode en 7 witte knikkers. We werpen met een zuivere dobbelsteen en pakken daarna zonder terugleggen lukraak zoveel knikkers uit de vaas als we ogen gegooid hebben.

a. Bepaal de voorwaardelijke kans op 3 rode knikkers als we 5 ogen gegooid hebben.
b. Bepaal de kans op precies 3 rode knikkers.
c. Wat is de (voorwaardelijke) kans dat we 5 ogen gegooid hebben als we 3 rode knikkers getrokken hebben?

B10. DK320

Een bedrijf vervaardigt een bepaald produkt op drie verschillende plaatsen, welke respectievelijk 30%, 50% en 20% van de produktie verzorgen. Bovendien is bekend dat bij de eerste vestiging 10% van de geproduceerde exemplaren defect is, bij de tweede vestiging 2% en bij de laatste vestiging 5%.

a. Bereken de kans dat een aselect gekozen exemplaar uit de totale produktie defect is.
b. Bereken de voorwaardelijke kans dat een exemplaar uit de eerste vestiging afkomstig is, gegeven dat het defect blijkt te zijn.

B11. DK321

Een student maakt een meerkeuzetoets met steeds twee mogelijke antwoorden. Als hij het goede antwoord niet weet, gokt hij door met een zuivere munt te gooien. Op 3/5 van het aantal vragen weet hij het antwoord. Wat is de kans dat hij het antwoord wist op een goed beantwoorde vraag?

B12. DK322

Van de Nederlandse belastingplichtigen heeft 20% een videorecorder (vr) en 23% noch een auto noch een vr. Als bovendien bekend is dat 5% van bovenstaande vr-bezitters geen auto heeft, bepaal dan het percentage van de belastingplichtige autobezitters die een vr hebben.

B13. DK323

Een automobilist die een aanrijding veroorzaakt, moet zich onderwerpen aan een bloedproef. De ervaring heeft geleerd dat, als zo iemand "onder invloed" verkeert, er 75% kans is dat het resultaat van de bloedproef positief is; is hij niet onder invloed dan is er maar 2% kans dat de bloedproef toch positief uitvalt. Aangenomen mag worden dat 5% van de automobilisten die een aanrijding veroorzaken onder invloed is. Hoe groot is de kans dat iemand die een aanrijding veroorzaakt onder invloed is als de bloedproef positief uitvalt?

B14. DK325

Bewijs de produktregel.

B15. DK326 (herhaald conditioneren)

Noem $(P_{V})=P(\ \cdot \ |V)$ voor V met P(V)>0. Als B en C gebeurtenissen zijn met P(B)>0 en P(C)>0, dan is $(P_{B})_{C}=P_{BC}$.

B16. DK327

Leid de regel van Bayes af.

B17. DK328

Laat A, B en C o.o. zijn. Bewijs dat P(A∩B|C) = P(A|C)P(B|C). Geef een tegenvoorbeeld voor het geval dat A, B en C slechts paarsgewijs onafhankelijk zijn.

B18. DK329

A, B, C en D zijn schakelaars die onafhankelijk van elkaar met kans p gesloten en met kans 1-p open zijn. Hoe groot is de kans dat de lamp brandt? Wat wordt de uitkomst als p = 1/2?

 |——————A——————————————B——————|
 |                            |
 |—————————————C——————————————|
 |                            |
 |—————————————D——————————————|
 |                            |
 |——batterij————————lamp——————|

B19. DK330

Drie gevangenen A, B en C wachten in hun cellen op de doodstraf. Ter gelegenheid van een feestdag zal een van hen gratie krijgen: door een eerlijke loting wordt uitgemaakt wie van de drie. Als bekend is wie gratie heeft gekregen, wordt de cipier gevraagd het nieuws nog voor zich te houden. A heeft echter bij geruchte vernomen dat bekend is wie gratie heeft en vraagt de cipier ernaar. Deze zegt dat hij niets mag loslaten. "Zeg me dan wie van B en C niet gratie heeft", zegt A, "als B gratie heeft noem je C en als C de gelukkige is dan noem je B; ben ik het dan gooi je met een munt om te kiezen tussen B en C". "Als je me met een munt ziet gooien weet je dat jij gratie hebt", zegt de cipier. "Gooi dan in elk geval met de munt", zegt A. Het komt de cipier voor dat hij op deze manier geen informatie geeft en na de (zuivere) munt gegooid te hebben vertelt hij A dat B niet gratie heeft. A lacht in z'n vuistje en via de gevangenistelefoon (kloppen op verwarmingsbuizen) vertelt hij aan C het nieuws. A beredeneert dat elk nu 50% kans op gratie heeft, maar C beweert dat A nog steeds een kans 1/3 op gratie heeft en zijn kans nu 2/3 is. Wie heeft gelijk?

B20. DK331

Via een communicatiekanaal worden binaire cijfers (nullen en enen) verzonden. Door de aanwezigheid van ruis is het mogelijk dat een 0 verzonden wordt en een 1 wordt ontvangen of omgekeerd. Zij A de gebeurtenis dat een 1 wordt verzonden en B de gebeurtenis dat een 1 wordt ontvangen. Veronderstel dat $P(B|{\overline {A}})=0{,}01$, $P({\overline {B}}|A)=0{,}02$ en P(A) = 0,5.

a. Bepaal de voorwaardelijke kansen P(A|B), P(A|B) en P(A|B).
b. Wat is de fysische betekenis van de hier beschouwde voorwaardelijke kansen?
c. Bereken de kans op een fout bij verzending van een binair cijfer.

B21. DK332 (eerlijke munt van Von Neumann / Hemelrijk)

We wensen met een munt waarvan we niet weten of hij zuiver is, toch "eerlijk te kiezen" uit twee personen A en B. We doen dit als volgt. We werpen tweemaal met de munt. Als dit KM oplevert wint A en als het MK is wint B. In het geval dat we KK of MM werpen, werpen we opnieuw twee keer. Dit herhalen we tot de beslissing valt. Ga na of dit inderdaad eerlijk is.

B22. DK333

Bereken de kans dat we meer dan zes worpen nodig hebben om 6 te werpen met een zuivere dobbelsteen.

B23. DK334 (2de Pascal-Fermat-probleem)

Peter en Paul spelen een aantal malen een spel waarbij elk een kans 2 heeft om te winnen. Bij elk van de spelletjes krijgt de winnaar 1 punt en de verliezer 0 punt. Ze spelen door tot een van de twee 5 punten verzameld heeft, en diegene krijgt dan de pot. Helaas valt de politie het speelhol binnen voordat ze uitgespeeld zijn en ze vluchten, met medeneming van de pot. Als op het moment dat er gestopt werd Peter 4 punten had en Paul 3, wat is dan een eerlijke manier om de pot te verdelen?

B24. DK335

Toon aan dat het experiment dat is samengesteld uit successievelijke aselecte trekkingen van k knikkers uit een vaas met n genummerde knikkers in elk van de volgende gevallen symmetrisch is:

a. trekkingen zonder terugleggen en geordende steekproef;
b. trekkingen zonder terugleggen en ongeordende steekproef;
c. trekkingen met terugleggen en geordende steekproef.