Discrete Kansrekening/Verwachtingswaarde/Vraagstukken

6.6 Vraagstukken

A1. DK600

Zij X het totale aantal ogen bij het twee keer werpen met een zuivere dobbelsteen. Bereken de verwachting EX van X.

A2. DK601 (Voorkennis; machtreeksen)

Bepaal $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k},\ \sum _{k=0}^{\infty }kz^{k-1}$ en $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k+1}}{k+1}}$ voor complexe getallen z met |z|<1.

A3. DK602

Uit een spel kaarten wordt er aselect een getrokken. Als het hartenaas is winnen we 520 euro en anders niets. Hoeveel is het waard om mee te doen?

A4. DK603

Bereken voor de in vraagstuk 5.A3 bepaalde simultane verdeling E(X₁-3), EX₂² en EX₁X₂.

A5. DK604

Van X en Y is gegeven dat voor k=1,...,m P(X=k|Y=m)=m, waarbij m een natuurlijk getal onder de 10 is. Bepaal de voorwaardelijke verwachting van X gegeven Y=7.

A6. DK625

Gegeven zijn drie zuivere dobbelstenen: A, B en C. Het aantal ogen op de zes zijvlakken is wat ongewoon, nl. voor A: 3,3,3,3,6,6; voor B: 1,1,5,5,5,5 en voor C: 2,4,4,4,4,4. Veronderstel dat je de volgende weddenschap met iemand anders afsluit. Bekijk beiden de dobbelstenen en leg ze open op tafel. Zelf kies je als eerste een dobbelsteen en de ander kiest een van de resterende twee. Werp vervolgens ieder één keer. Wie het hoogste aantal ogen gooit, krijgt van de ander 1 euro. Welke dobbelsteen kies je?

B1. DK605

De verdeling van de s.v. X wordt gegeven door

$P(X=n)={\frac {1}{(|n|+1)(|n|+2)}}$, voor n=+1,+2,...

Controleer dat dit een verdeling is en bereken EX indien deze bestaat.

B2. DK606

Ga na dat de uitdrukkingen voor de verwachtingswaarden in stelling 6.2.1 juist zijn.

B3. DK607

Als S_X = {0,1,2...} dan is EX = P(X>0) + P(X>1) + P(X>2) + ...

B4. DK609

De s.v.-en X en Y hebben een simultane verdeling en er geldt dat X<Y. Bewijs dat EX<EY (mits beide bestaan).

B5. DK610

Peter en Paul gooien elk met een dobbelsteen. Als het totaal aantal ogen 5 of minder is krijgt Paul van Peter 5 gulden. Bepaal het bedrag dat Paul in alle andere gevallen aan Peter betaalt, als het spel eerlijk is.

B6. DK611 ("one-armed bandit")

Een simpel model fruitmachine heeft 3 schijven, elk met 10 symbolen, waarvan één J ("Jackpot"). Na inworp van een munt draaien de schijven een tijdje rond. Als ze tot stilstand gekomen zijn, kan men door een venster 3 naast elkaar liggende symbolen zien, een van elke schijf. Als er geen J bij zit, is men de inworp kwijt, is er één J dan krijgt men de inworp terug, zijn er twee J's dan krijgt men 10 munten van de machine en zijn er drie J's dan krijgt men x munten van de machine.
a. Welke waarden neemt de winst W aan?
b. Bepaal de verdeling van W.
c. Bereken EW.
d. Bepaal x zodanig dat het een eerlijk spel wordt.

B7. DK612 ("chuck-a-luck")

Bij dit kermisspelletje zet je een bepaald bedrag in op een van de getallen 1,2,...,6. Dan wordt één keer gegooid met drie zuivere dobbelstenen en wordt gekeken hoeveel dobbelstenen het ogenaantal tonen waarop je hebt ingezet. Is dat 0 dan ben je je inzet kwijt. Is het positief dan krijg je je inzet terug en win je bovendien je inzet maal dat aantal. Bereken de verwachte winst bij inzet van 1 euro.

B8. DK613

Uit een spel kaarten worden aselect 13 kaarten getrokken. Bepaal de verwachting van de volgende stochastische variabelen:
a. het aantal getrokken azen,
b. het aantal getrokken azen en heren,
c. het aantal getrokken hartenkaarten,
d. het aantal getrokken schoppenazen,
e. het aantal rode kaarten minus het aantal zwarte kaarten.

B9. DK614 (St. Petersburg paradox)

Peter en Paul gooien net zolang een zuivere munt tot de uitkomst kruis is. Peter betaalt Paul een bepaald bedrag en Paul betaalt Peter 2ⁿ als n het aantal worpen is. Hoeveel is Peter bereid aan Paul te betalen?

B10. DK623 (roulette)

Constance speelt roulette en hanteert het bekende verdubbelingssysteem: ze zet steeds in op rood; als zwart verschijnt verdubbelt ze haar inzet en ze stopt bij rood. Ze begint met een inzet van 1 euro.
a. Wat is haar verwachte winst? Constance heeft natuurlijk niet een onbeperkt kapitaal om mee te spelen. Ze heeft 16383 euro bij zich.
b. Hoe vaak mag zwart verschijnen, zonder dat ze blut raakt?
c. Bereken opnieuw de verwachte winst.
d. Ga na wat er in de limiet gebeurt voor toenemend kapitaal, als Constance onbeperkte speelduur heeft.

B11. DK615

Bewijs stelling 6.5.2.

B12. DK616

We werpen tweemaal een dobbelsteen. Zij X de totale score en Y=0 als de eerste worp 1 of 2 is en Y=1 als de eerste worp 3, 4, 5 of 6 is.
a. Bereken g(0)=E(X|Y=0) en g(1)=E(X|Y=1).
b. Bepaal de verdeling van g(Y)=E(X|Y).
c. Controleer de relatie E(E(X|Y))=EX.

B13. DK617

In een bepaald land is de gemiddelde lengte van de volwassenen 1,75 m. Van de volwassenen met een gewicht van 90 kg of meer is de gemiddelde lengte echter 1,85 m. Verder is bekend dat een op de vier volwassenen minstens 90 kg weegt. Bereken de gemiddelde lengte z van de volwassenen die minder dan 90 kg wegen. Ga daartoe als volgt te werk: noem de lengte van een aselect gekozen volwassene X en voer de s.v. Y in die de waarde 1 heeft als de gekozen volwassene lichter dan 90 kg is en de waarde 2 in het andere geval.
a. Bereken EX en E(X|Y=2).
b. Bepaal de verdeling van V = E(X|Y) en bereken EV als functie van z.
c. Gebruik de relatie EX = E(E(X|Y)) om z te berekenen.

B14. DK619

We gooien zolang met een zuivere munt tot we "munt" gooien. Zij N het aantal worpen dat nodig is. Vervolgens gooien we nog eens net zo vaak als eerst. Het aantal keren munt bij deze worpen noemen we X.
a. Bepaal P(N=10), P(X=4|N=10) en P(X=4 en N=10).
b. Bepaal de verdeling van N, de voorwaardelijke verdeling van X gegeven N=n en de simultane verdeling van X en N.
c. Bepaal E(X|N=10) en E(X|N=n).
d. Bereken EX.
e. Bepaal P(X=0) en P(X=1).
f. Bepaal de voorwaardelijke kansfunctie van N gegeven X=0 en E(N|X=0).

B15. DK621

De s.v.-en X en Y zijn o.o. en beide geometrisch verdeeld met parameter p; bepaal de verdeling van V=min(X,Y) en van W=max(X,Y), en bereken EV en EW.

B16. DK622

De s.v.-en X en Y zijn o.o. en beide geometrisch verdeeld met parameters resp. p en q. Zij Z=X+Y. Bepaal de kansfunctie van Z, en EZ.

B17. DK626

De stochastische variabele Y is binomiaal verdeeld met parameters n=2 en p=1/2. Onder de voorwaarde Y=y heeft X een geometrische verdeling met parameter (y+1)/4.
a. Bepaal E(X|Y) en z'n verdeling.
b. Bereken EX.
c. Bepaal de voorwaardelijke verdeling van Y gegeven X=2.

B18. DK627

De simultane kansfunctie van X en Y wordt gegeven door: p_X,Y(i,j) = c·(1+ij), voor i=0,1,2 en j=0,1,2.
a. Toon aan dat c=1/18 en bereken P(Y>X) en EXY.
b. Bepaal de marginale verdeling van X en bereken EX en EX².
c. Ga na of X en Y onderling onafhankelijk zijn; motiveer het antwoord.
d. Bepaal de voorwaardelijke verdeling van X gegeven Y=2.
e. Bepaal E(X|Y=2).

B19. DK628

Bepaal E(-1)^X als X
a. Poisson-verdeeld is;
b. geometrisch verdeeld is.