6.3 Verwachting van functies van stochastische variabelen
[bewerken]
Vaak moeten we de verwachting bepalen van een functie van een of meer s.v.-en. We kijken eerst eens naar een voorbeeld.
Voorbeeld 1
We werpen zolang een zuivere munt tot we "munt" gooien. De s.v. N stelt het benodigde aantal worpen voor. N is geometrisch verdeeld met parameter 1/2. Als we n worpen nodig hadden, krijgen we een bedrag 2-n uitbetaald. Noem de uitbetaling X; de uitbetaling is een functie van N, nl. X = 2-N. Voor de verwachte uitbetaling vinden we:
.
Nu is
,
dus
.
We zien dat we op vanzelfsprekende wijze kunnen schrijven:
,
waarin EX is uitgedrukt in de verdeling van N. We hoeven dan niet eerst na te gaan wat de verdeling van X is.
Wat we in het voorbeeld hebben gezien, geldt heel algemeen, en wordt verwoord in de volgende stelling.
Stelling 6.3.1
Laat X1,...,Xn s.v.-en zijn en
, dan is
,
waarbij dus gesommeerd wordt over alle mogelijke waarden (x1,...,xn) van (X1,...,Xn).
Bewijs: Noem X = (X1,...,Xn) en x = (x1,...,xn). Dan geldt voor de s.v. g(X):
![{\displaystyle Eg(X)=\sum _{s\in S}g(X(s))p(s)=\sum _{x}g(x)P(X=x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3708d9120a8a685beee7b125ccb308a87ae98a20)
We hoeven dus als we de verwachting van een functie Y = g(X) van X willen bepalen, niet eerst de verdeling van Y te berekenen, maar kunnen met bovenstaande stelling Eg(X) direct via de verdeling van X bepalen.
Voorbeeld 2 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)
We kunnen Z en M opvatten als functies van de ogenaantallen X en Y van resp. de eerste en tweede worp: Z = X + Y en M = \max(X,Y). We berekenen:
![{\displaystyle EZ=E(X+Y)=\sum _{x=1}^{6}\sum _{y=1}^{6}(x+y)P(X=x\ en\ Y=y)={\tfrac {1}{36}}\sum _{x=1}^{6}\sum _{y=1}^{6}(x+y)=7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4ec5b85404dd6c0f5759f4258ea475226cd1109)
en
,
waarbij we bij de laatste sommatie bedenken dat er (2m-1) punten (x,y) zijn waarvoor \max(x,y) = m.
Merk op dat E(X + Y) = EX + EY; in een volgende paragraaf zullen we zien dat deze relatie algemeen geldt.
We vergelijken het resultaat met een berekening van EZ en EM via de verdelingen van Z en M:
![{\displaystyle EZ=\sum _{z=2}^{12}z.P(Z=z)=2\times {\tfrac {1}{36}}+2\times {\tfrac {3}{36}}+4\times {\tfrac {3}{36}}+\ldots +12\times {\tfrac {1}{36}}=7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6cfdc7adc36025277883ea1653acf68ffefb08c)
en
.