Discrete Kansrekening/Verwachtingswaarde/Verwachting van bekende discrete verdelingen

6.2 Verwachting van bekende discrete verdelingen

In deze paragraaf sommen we de verwachtingswaarde van enkele bekende discrete verdelingen op. Aangezien de verwachting van een s.v. X alleen afhankelijk is van de kansverdeling van X, spreken we ook wel van de verwachtingswaarde van de (bijbehorende) verdeling. We vermelden hieronder steeds de verdeling en denken ons daarbij een s.v. X met die verdeling.

Stelling 6.2.1
1.Ontaarde verdeling (in het punt a).

$EX=a\cdot 1=a$.

2. Alternatieve verdeling (met parameter p = p_X(1)).

$EX=0\cdot (1-p)+1\cdot p=p$.

3. Uniforme verdeling (op de getallen $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}\,$).

$EX=x_{1}{\tfrac {1}{N}}+x_{2}{\tfrac {1}{N}}+\ldots +x_{N}{\tfrac {1}{N}}={\tfrac {1}{N}}\sum x_{i}={\bar {x}}$.

4. Binomiale verdeling (met parameters n en p).

$EX=\sum _{k=0}^{n}k{\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}=$

$=np\sum _{m=0}^{n-1}{\tbinom {n-1}{m}}p^{m}(1-p)^{n-1-m}=np$

5. Hypergeometrische verdeling (met parameters N, M en n). $EX=\sum _{m=0}^{n}m{\frac {{M \choose m}{N-M \choose n-m}}{N \choose n}}=n{\frac {M}{N}}$

6. Geometrische verdeling (met parameter p).

$EX=\sum _{n=1}^{\infty }n(1-p)^{n-1}p=p{\frac {d}{dz}}\left.\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\right|_{z=1-p}=p{\frac {d}{dz}}\left.\left({\frac {1}{1-z}}\right)\right|_{z=1-p}={\frac {1}{p}}$

7. Poisson-verdeling (met parameter m).

$EX=\sum _{n=0}^{\infty }n{\frac {\mu ^{n}}{n!}}e^{-\mu }=\mu \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{n-1}}{(n-1)!}}e^{-\mu }=\mu$

We passen de bovenstaande kennis toe in een tweetal gevallen.

Voorbeeld 1
Het verwachte aantal zessen bij 25 keer werpen met een zuivere dobbelsteen is dus 25 × 1/6, want het aantal zessen X is B(25,1/6)-verdeeld.

Voorbeeld 2
Het verwachte benodigde aantal worpen om met een zuivere dobbelsteen zes te gooien is dus 6, want het benodigde aantal worpen X is geometrisch verdeeld met parameter 1/6.