Discrete Kansrekening/Verwachtingswaarde/Eigenschappen van verwachtingswaarde

6.4 Eigenschappen van verwachtingswaarde

In de vorige paragraaf hebben we in voorbeeld 2 gezien dat de verwachtingswaarde van de som van twee s.v.-en gelijk is aan de som van de verwachtingswaarden van elk. De volgende stelling laat zien dat deze relatie algemeen geldt en geeft tevens een aantal andere eigenschappen van verwachtingswaarden.

Stelling 6.4.1 (eigenschappen van verwachtingswaarde)
Laat X en Y s.v.-en zijn met een simultane verdeling, dan geldt:

(a) E(X + Y) = EX + EY,

(b) E(aX + b) = aEX + b, voor alle a,b ∈ R,

(c) als X en Y o.o. zijn, dan is EXY = EX.EY.

Bewijs:

(a)

$E(X+Y)=\sum _{x\in S_{X}}\sum _{y\in S_{Y}}(x+y).P(X=x\ en\ Y=y)=$

$=\sum \sum x.P(X=x\ en\ Y=y)+\sum \sum y.P(X=x\ en\ Y=y)=EX+EY$.

(Merk op dat we hier zowel x + y als x en y opvatten als functie van (x,y) en drie keer stelling 6.3.1 toepassen.)

(b)

$E(aX+b)=\sum _{x\in S_{X}}(ax+b)P(X=x)=\sum axP(X=x)+\sum bP(X=x)=$

$=a\sum xP(X=x)+b\sum P(X=x)=aEX+b$.

(c)

$EXY=\sum _{x\in S_{X}}\sum _{y\in S_{Y}}xyP(X=x\ en\ Y=y)=\sum \sum xyP(X=x)P(Y=y)=$

$=\sum _{x\in S_{X}}xP(X=x).\sum _{y\in S_{Y}}yP(Y=y)=EX.EY$.

Met behulp van de voorgaande stelling kunnen we op eenvoudige wijze de verwachting van de binomiale verdeling en van de hypergeometrische verdeling bepalen.

Voorbeeld 1
Zij X B(n,p)-verdeeld. Bekijk n onafhankelijke alternatieven X_i met succeskans p, dus P(X_i= 1) = 1 - P(X_i= 0) = p. We stellen

$Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$,

dan hebben X en Y dezelfde verdeling en dus ook dezelfde verwachting. We vinden dan:

$EX=EY=\sum _{i=1}^{n}EX_{i}=\sum _{i=1}^{n}p=np$.

Voorbeeld 2
Zij X hypergeometrisch verdeeld met parameters M, N en n. We beschouwen een aselecte steekproef van omvang n zonder teruglegging uit een vaas met M rode en N-M witte knikkers. We definiëren X_i = 1 of 0 al naar gelang de i^e trekking een rode dan wel een witte knikker oplevert. Dan vormen de (X_i) weer n alternatieven met parameter p = M/N. We stellen

$Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$,

dan hebben X en Y dezelfde verdeling en dus dezelfde verwachting. We vinden dan:

$EX=EY=\sum _{i=1}^{n}EX_{i}=\sum _{i=1}^{n}p=np$.

Merk op dat de s.v.-en X₁,...,X_n in dit geval niet o.o. zijn.