Discrete Kansrekening/Symmetrische kansruimten/Vraagstukken

2.3 Vraagstukken

A1. DK200

Ik kies een natuurlijk getal n waarvoor geldt: 0<n<10 of 20<n<30 of 40<n<50. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er?

A2. DK201

Ik kies natuurlijke getallen n₁, n₂ en n₃ waarvoor geldt: 0<n₁<10, 20<n₂<30 en 40<n₃<50. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er?

A3. DK202

Bereken n!, $N^{n}$, ${\tfrac {N!}{(N-n)!}}$, ${\tbinom {N}{n}}$ en ${\tbinom {N+n-1}{N-1}}$, voor N=7 en n=3.

A4. DK203

Bereken het aantal permutaties van 6 elementen.

A5. DK204

Bereken het aantal combinaties van 4 uit 8.

A6. DK205

Bereken het aantal herhalingsvariaties van 3 uit 11.

A7. DK206

Bereken het aantal variaties van 7 uit 9.

A8. DK207

Bereken het aantal herhalingscombinaties van 4 uit 6.

A9. DK208

Geef in een tabel de aantallen uitkomsten weer bij trekking van 5 uit 10 elementen met/zonder teruglegging, waarbij de uitkomst wel/niet geordend opgevat wordt.

A10. DK210

Bereken de multinomiaalcoëfficiënt voor N=9, n₁=2, n₂=3 en n₃=4.

A11. DK211

We werpen n keer een munt. Hoeveel elementen bevat de uitkomstenruimte?

A12. DK212

We vormen rijtjes van n symbolen bestaande uit k letters a en n–k letters b. Op hoeveel manieren kan dat?

A13. DK223

We trekken vier keer aselect en zonder terugleggen uit een bak met 3 rode en 7 witte balletjes. Bereken de kans dat het vierde getrokken balletje rood is.

A14. DK222

Iemand beweert een wijnkenner te zijn. Men gaat zijn deskundigheid op de proef stellen. Hij krijgt de namen van 6 hem bekende wijnsoorten en 6 glazen wijn, van iedere soort een. Na het proeven moet hij van elk glas zeggen welke wijnsoort erin zit. Iedere soort moet hij één keer noemen. Men gelooft pas in zijn deskundigheid als hij ten minste 4 goede antwoorden geeft. Hoe groot is de kans dat men in zijn deskundigheid gelooft terwijl hij in het geheel geen kenner is? Geef bij beantwoording aan welke veronderstellingen gemaakt zijn.

B1. DK213

Geef voorbeelden van symmetrische kansruimten.

B2. DK214 (1ste Pascal-Fermat-probleem)

Chevalier De Méré legde in 1654 het volgende probleem voor aan Blaise Pascal: "Wat is waarschijnlijker: bij vier worpen met één dobbelsteen minstens één 6 werpen of bij 24 worpen met twee stenen minstens één dubbelzes?". Beantwoord deze vraag voor zuivere dobbelstenen.

B3. DK215

Hoe groot is de kans dat in een willekeurig getal van 3 cijfers geen cijfer lager is dan 2. Bereken ook de kans dat als laagste cijfer een 2 voorkomt?

B4. DK216

Een loterij bestaat uit 100 loten. Er zijn 4 hoofdprijzen en 10 troostprijzen. Trekking vindt plaats zonder teruglegging. Als men 5 loten koopt wat is dan de kans op

a. één hoofdprijs en één troostprijs
b. precies één prijs
c. geen prijs
d. ten minste één prijs?

B5. DK217

Tussen Peter en Paul worden 26 kaarten eerlijk verdeeld. Onder de kaarten bevinden zich precies 6 schoppen. Bepaal de kans dat

a. een van beiden precies 4 schoppen krijgt
b. beiden 3 schoppen krijgen.

B6. DK218

Bepaal de kans dat van n aselect gekozen mensen er ten minste twee op dezelfde dag van het jaar jarig zijn. Maak zelf de nodige veronderstellingen. Ga na hoe groot n moet zijn, opdat de gevraagde kans groter is dan 0,5.

B7. DK219

We trekken vijf keer zonder terugleggen lukraak een kaart uit een spel met 52 kaarten. Bereken de kans dat

a. alle getrokken kaarten plaatjes (aas, heer, vrouw of boer) zijn
b. de eerste kaart een aas en de laatste kaart een heer is
c. bij de 5 getrokken kaarten één aas en één heer is.

B8. DK220

De vorst van Toscane stelde aan Galileï de volgende vraag: "Waarom komt bij een worp met drie zuivere dobbelstenen de som 10 vaker voor dan de som 9, terwijl beide sommen op 6 manieren kunnen optreden: nl.

9 = 1+2+6 = 1+3+5 = 1+4+4 = 2+2+5 = 2+3+4 = 3+3+3

en

10 = 1+3+6 = 1+4+5 = 2+2+6 = 2+4+4 = 2+3+5 = 3+3+4?"

Wat zal Galileï geantwoord hebben?

B9. DK221

Beschouw een vaas met 10 ballen genummerd van 1 t/m 10. We trekken hieruit aselect 4 ballen zonder teruglegging. Wat is de kans dat de getrokken ballen toenemende nummers hebben?

B10. DK224

Een vaas bevat n knikkers genummerd 1 t/m n. We trekken aselect met terugleggen k knikkers uit de vaas. Hoe groot is de kans dat nr. i getrokken wordt?

B11. DK225

Op hoeveel manieren kun je het getal 8 schrijven als de som van 5 natuurlijke getallen?