Discrete Kansrekening/Simultane kansverdelingen/Vraagstukken
5.6 Vraagstukken
[bewerken]- A1. DK501
We gooien twee keer met een zuivere dobbelsteen. Zij Xi het aantal ogen bij de i-e worp (i=1,2). Bepaal de simultane verdeling van X1 en X2, de marginale verdeling van X1 en de voorwaardelijke verdeling van X2 gegeven X1=3.
- A2. DK502
De s.v. (X1,...,Xm) heeft een multinomiale verdeling met parameters n, p1,...,pm. Als n=10, m=4, p1=p2=4, p3=3, p4=6, bereken dan P(X1=2 en X2=4 en X3=3 en X4=1).
- A3. DK503
De s.v.-en X1 en X2 zijn onderling onafhankelijk. Vul gebruikmakend van deze eigenschap bijgaande tabel verder in. Bepaal de verdeling van de volgende functies van X1 en/of X2: X1-3, X22 en X1X2.
———————————————————————————————————————— x2 -1 0 1 pX1(x1) x1 ———————————————————————————————————————— 1 ? ? ? ? ———————————————————————————————————————— 2 ? 1/8 ? ? ———————————————————————————————————————— pX2(x2) 1/3 1/2 ? ?
- A4. DK504
We gooien twee keer met een zuivere munt. Kies Xi=1 als de i-e worp kruis oplevert en Xi=0 anders (i=1,2). Bereken met behulp van de convolutiesom de convolutie pX1+X2=pX1* pX2.
- A5. DK505
De stochastische variabelen X en Y bezitten een discrete simultane kansfunctie, gegeven door P(X=i en Y=j)
———————————————————————————————————————— j -1 1 2 5 i ———————————————————————————————————————— -1 1/27 1/9 1/9 1/27 ———————————————————————————————————————— 1 1/9 2/9 1/9 0 ———————————————————————————————————————— 5 4/27 1/9 0 0 ————————————————————————————————————————
Bepaal de kansen op de volgende gebeurtenissen:
a. "Y is even";
b. "Y is even en X<2";
c. "XY is oneven";
d. "X is positief, maar kleiner dan 5";
e. "Y is positief, maar kleiner dan 5".
f. Ga na of de gebeurtenissen bij d. en e. o.o. zijn.
g. Bereken ook de kansen P(X=Y) en P(X<Y).
h. Bepaal de verdeling van X+Y en van XY.
- B1. DK510
We werpen driemaal achtereen met een zuivere munt. Zij X het aantal keren "kruis" bij de eerste twee worpen en Y het aantal bij de laatste twee worpen. Bepaal
a. de simultane kansfunctie van X en Y;
b. de marginale kansfunctie van X en van Y;
c. P(X<Y).
- B2. DK511
Zij s=(s1,s2) de uitkomst van een worp met twee dobbelstenen. We definiëren de s.v.-en X door X(s)=s1+s2 en Y door Y(s)=s1.
a. Bepaal de verdeling van X.
b. Bepaal de simultane verdeling van X en Y.
c. Wat is de voorwaardelijke verdeling van Y gegeven X=x?
- B3. DK512
Een vaas bevat 3 rode en 5 zwarte knikkers. Zonder teruglegging nemen we 4 knikkers uit de vaas. Zij X het aantal weggenomen rode en Y het aantal zwarte. Bepaal de verdeling van X en de simultane verdeling van X en Y.
- B4. DK513
In een doos bevinden zich twee munten met kansen op munt resp. 1/3 en 2/3. Aselect kiezen we een munt en werpen deze twee keer. Laat X1=1 als de eerste worp munt opleverde en X1=0 anders. Analoog X2 voor de tweede worp.
a. Zijn X1 en X2 onafhankelijk?
b. Bepaal de verdeling van (X1,X2) onder de voorwaarde dat de eerste munt gekozen is.
c. Bepaal onder dezelfde voorwaarde ook de verdeling van X1 en X2 afzonderlijk. Wat blijkt?
- B5. DK514
De s.v.-en X1,...,Xn zijn o.o. en alle geometrisch verdeeld met parameter p. Bepaal de verdeling van M=max(X1,...,Xn).
- B6. DK515
We werpen twee keer een zuivere dobbelsteen; Z is het totale ogenaantal en M het maximale. Bepaal de verdeling van X=7-(Z-M). Verklaar waarom X en M gelijkverdeeld zijn.
- B7. DK516 (geheugenloosheid)
We gooien met een dobbelsteen tot we zes krijgen. Zij X het aantal benodigde worpen.
a. Bereken P(X>k).
b. Bereken P(X>k+m|X>m).
c. Als we al n keer gegooid hebben, hoe groot is dan de (voorwaardelijke) kans om nog minstens x keer te moeten gooien om zes te krijgen?
d. Ga na wat met "geheugenloosheid" bedoeld wordt.
- B8. DK517
We gooien 10 keer met een zuivere munt; als we n keer kruis hebben gegooid, doen we n witte knikkers en 10-n zwarte in een vaas en trekken aselect een drietal knikkers uit de vaas. Zij N het aantal keren kruis dat we gooien met de munt en W het aantal witte knikkers in het getrokken drietal. Bepaal de verdeling van W en tevens de voorwaardelijke verdeling van N gegeven W=1.
- B9. DK518
Een vaas bevat R rode en W witte knikkers. Zonder teruglegging worden aselect n knikkers uit de vaas genomen (n<min(R,W)). Zij Zi=0 of 1 al naar gelang de ie knikker rood is of wit.
a. Wat is de verdeling van Z1+...+Zn?
b. Bepaal de simultane verdeling van Z1,...,Zn.
c. Wat is de voorwaardelijke verdeling van Z2 gegeven Z1=Z1, Z3=Z3,..., Zn=zn?
- B10. DK519
Bewijs dat de som van twee o.o. Poisson-verdeelde stochastische variabelen (met parameters m1 en m2) ook weer Poisson-verdeeld is (met parameter m1+m2).
- B11. DK520
Als een grootbloemige gele chrysant wordt gekruist met een witte kleinbloemige, kan de resulterende plant grootbloemig geel, grootbloemig wit, kleinbloemig geel of kleinbloemig wit zijn. Volgens de erfelijkheidswetten van Mendel verhouden zich de aantallen van deze mogelijkheden als 9:3:3:1. Bepaal de kans dat van 32 planten die op deze wijze zijn geteeld de aantallen resp. 16, 7, 8 en 1 zijn.
- B12. DK521
X en Y zijn o.o. en geometrisch verdeeld met parameter p1 resp. p2. Wat is de verdeling van min(X,Y)? Geef een directe redenering voor het geval p1=p2.