Basiskennis chemie 5/Limieten, inleiding
Limiet
In het dagelijks spraakgrebruik ken je het begrip limiet natuurlijk. Ook in het Engels heb je er waarschijnlijk weinig moeite mee: "That's the limit!". Steeds betekent limiet iets wat "niet verder kan", iets wat tegen zijn grens aan zit. Ook in de wiskunde kom je het begrip "limiet" tegen. Ook in de wiskunde heeft het begrip limiet een betekenis die met grenzen samenhangt. Hieronder volgen een paar voorbeelden van wiskundige limieten:
Grens
y = 3/x
In dit geval heb je geleerd dat delen door nul niet mag. In onderstaande tabel zie het effect als x in de buurt van 0 komt.
Delen door nul blijft flauwekul, maar je ziet ook dat er met de waarden iets geks gebeurt: als je van de negatieve kant naar nul gaat wordt de uitkomst steeds negatiever. Kom je van de positieve kant dan wordt de uitkomst juist steeds positiever.
| x | -1 | -0,1 | -0,001 | -0,000001 | 0 | 0,000000001 | 0,25 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y (3/x) | -3 | -30 | -3.000 | -3.000.000 | ? | 3.000.000.000 | 12 | 1 |
y = 6x2/2x
Bovenstaande sommetje ziet er uit als een moeilijke manier van schrijven voor "y = 3x". Tot je er wat beter naar gaat kijken. In onderstaande tabel zijn voor verschillende waarden van x de erbij horende y-waarde uitgerekend. Eerst zijn de teller en de noemer van de breuk apart uitgerekend en daarna de waarde van de breuk.
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Teller (6x2) | 96 | 54 | 24 | 6 | 0 | 6 | 24 | 54 |
| Noemer (2x) | -8 | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
| Breuk | -12 | -9 | -6 | -3 | ? | 3 | 6 | 9 |
Teller = 0
noemer = 0
noemer = 0
y = 4x2
Bij deze vergelijking is gelukkig niet het risico aanwezig dat je door 0 moet delen. In de buurt van 0 is het een hele nette functie. Je kunt je alleen afvragen: waar is het einde? Houdt het ooit op? Het is altijd mogelijk om weer 1 bij x op te tellen, en dan wordt de uitkomst weer groter. Hoe ga je daar mee om?
x2
y = 4x2/2x2
Bij deze vergelijking speelt weer dat er in de buurt van 0 gekke dingen kunnen gebeuren, want dan moet je door 0 delen. Maar wat wordt de waarde a;s x heel groot wordt, of juist erg negatief?
x2/x2
In de volgende paragrafen zul je leren hoe je met dit soort grenzen om moet gaan. De volgende paragrafen gaan over de wiskunde van de hele kleine en de hele grote getallen.
Groot en klein.