Basiskennis chemie 4/Merkwaardige producten (a+b)2

---

---

Merkwaardige producten, (a+b)²

Een speciaal geval van $\mathrm {(a\ +\ b)\cdot (a\ +\ c)}$ wordt gevormd wanneer b en c aan elkaar gelijk zijn (en je voor alletwee "b" noteert). De vergelijking gaat dan over in:

$\mathrm {(a\ +\ b)\cdot (a\ +\ c)\ \Longrightarrow \ (a\ +\ b)\cdot (a\ +\ b)\ =\ (a\ +\ b)^{2}}$

Verg.1

(a+b)²

Als je dit product berekent op de manier zoals hier is aangegeven dan vind je het volgende:

$\mathrm {(a\ +\ b)^{2}\ \Longrightarrow \ (a\ +\ b)\cdot (a\ +\ b)}$

Verg. 2

De stappen zijn recht toe, recht aan:

• eerste maal eerste
• eerste maal tweede
• tweede maal eerste
• tweede maal tweede
  
  $\mathrm {\Longrightarrow \ a\cdot a\ +a\cdot b\ +\ b\cdot a\ +\ b\cdot b}$

  Verg. 3

Bij producten maakt de volgorde waarin factoren (de getallen die je met elkaar vermenigvuldigt) noteert niet uit en in de wiskunde is het gebruikelijk om bij gebruik van letters deze in producten alfabetisch te noteren.

$\mathrm {\Longrightarrow \ a\cdot a\ +a\cdot b\ +\ a\cdot b\ +\ b\cdot b}$

Verg. 4

Uiteraard valt nu echt op dat de twee middelste termen (getallen die je optelt) gelijk zijn. Bovendien wordt in de eerste en de laatste term het getal met zichzelf vermenigvuldigd, dus daar kun je een exponent voor schrijven. Je vindt dan:

$\mathrm {\Longrightarrow \ a^{2}\ +2\cdot a\cdot b\ +\ b^{2}}$

Verg. 5

De laatste opmerking heeft meer met een algemene menselijke eigenschap te maken, en toevallig zijn wiskundigen (volgens sommigen) ook net mensen. Ook wiskundigen zijn lui. De punten tussen de verschillende factoren zijn niet echt noodzakelijk, dus die worden ook weggelaten. Je vindt dan:

$\mathrm {(a+b)^{2}\ =\ a^{2}\ +2ab\ +\ b^{2}}$

Verg. 6

Omdat de middelste term twee keer het product van de te kwadrateren termen is wordt deze term ook vaak aangeduid als het dubbelproduct.

Dubbelproduct

Getallenvoorbeeld 1

Bereken het kwadraat van 43.
43 kun je schrijven als (40 + 3).De opgave wordt dus:

$\mathrm {43^{2}\ =\ (40\ +\ 3)^{2}\ =\ ??}$

Verg. 7

Getallen

In dit voorbeeld geldt: a = 40 en b = 3. Invullen van deze waarden in vergelijking 6 geeft:

$\mathrm {(a+b)^{2}\ =\ a^{2}\ +2ab\ +\ b^{2}\ \Longrightarrow \ 40^{2}\ +\ 2\times 40\times 3\ +\ 3^{2}\ =\ 1600\ +\ 240\ +\ 9\ =\ 1849}$

Verg. 8

Door het splitsen van het getal in tientallen en eenheden worden de uit te voeren vermenigvuldigingen veel eenvoudiger. Ben je een beetje handig met hoofdrekenen dan heb je niet eens een rekenmachine nodig.

Getallenvoorbeeld 2

Ook als je voor "b" een negatieve waarde hebt werkt de formule, al moet je uiteraard dan wel opletten met de regels "plus maal min geeft min" en die andere: "min maal min geeft plus". Bereken het kwadraat van 59.
59 kun je schrijven als (60 - 1).De opgave wordt dus:

$\mathrm {59^{2}\ =\ (60\ -\ 1)^{2}\ =\ ??}$

Verg. 9

In dit voorbeeld geldt: a = 40 en b = 3. Invullen van deze waarden in vergelijking 6 geeft:

$\mathrm {(a+b)^{2}\ =\ a^{2}\ +2ab\ +\ b^{2}\ \Longrightarrow \ 60^{2}\ +\ 2\times 60\times (-1)\ +\ (-1)^{2}\ =\ 3600\ +\ -120\ +\ 1\ =\ 3481}$

Verg. 10

Wiskundevoorbeeld 1

Uiteraard zijn er ook wiskundige voornbeelden te geven: wat is het kwadraat van $3a\ +\ 5b$?

$(3a\ +\ 5b)^{2}\ =\ 9a^{2}\ +\ 2\times (3a)\times (5b)\ +\ 25b^{2}\ =\ 9a^{2}\ +30ab\ +\ 25b^{2}$

Verg. 9

Je ziet dat niet alleen de letters meedoen met de formule, maar ook de cijfers. Vooral in het dubbelproduct is de oorspronkelijke 2ab moeilijk te herkennen.

Wiskunde

Wiskundevoorbeeld 2

Ook met gebroken getallen voor de onbekenden blijft de formule werken:

$(3{\tfrac {2}{7}}p\ +\ 2{\tfrac {6}{11}}q)^{2}\ =??$

De symbolen uit vergelijking 6 krijgen dus nu de betekenissen:

$a\ =\ 3{\tfrac {2}{7}}p$

$b\ =\ 2{\tfrac {6}{11}}q$

Invullen in vergelijking 6 geeft nu:

${\big (}(3{\tfrac {2}{7}}p)\ +\ (2{\tfrac {6}{11}}q){\big )}^{2}\ =\ ({\tfrac {23}{7}}p)^{2}\ +\ 2\times ({\tfrac {23}{7}}p)\times ({\tfrac {28}{11}}q)\ +\ ({\tfrac {28}{11}}q)^{2}\ ={\tfrac {529}{49}}p^{2}\ +\ {\tfrac {1288}{77}}pq\ +\ {\tfrac {529}{121}}q^{2}\ =10{\tfrac {39}{49}}p^{2}\ +\ 16{\tfrac {8}{11}}pq\ +\ 4{\tfrac {45}{121}}q^{2}$

Hier is het teruglezen vcan de factoren vrijwel onmogelijk. Je moet er wel aan denken dat je bij het kwadrateren van de breuken eerst de helen (die voor de breuk staan) in de breuk opneemt.

---

---