Basiskennis chemie 4/Gewone producten

Merkwaardig? Doe maar gewoon

Dit hoofdstuk gaat over "merkwaardige producten", maar voor je iets merkwaardig kunt noemen, moet toch eigenlijk ook wel weten wat dan normaal is. Om te zien wat een merkwaardig product nu zo merkwaardig maakt ga je eerst een getallenvoorbeeld, en daarna een voorbeeld met symbolen, letters, bekijken.

Wanneer is iets merkwaardig?

Gewone producten, oppervlakte

Een product is pas merkwaardig als je weet wat een gewoon product is. Een product is het resultaat van een vermenigvuldiging van twee getallen. Je kunt dat het makkelijkst zien bij het berekenen van het oppervlak van een rechthoek. Je moet daarvoor de lengte met de breedte vermenigvuldigen.

Fig. 1

Oppervlak met getallen

Niet moeilijk doen

Uiteraard kun je het oppervlak simpel uitrekenen:

{\ce {O\ =\ lengte\ \times \ breedte\ =\ 13\ \times \ 27\ =\ 351}}

\mathrm {}

Getallen

Wel moeilijk doen

In deze paragraaf gaat het erom duidelijk te maken hoe het gaat als je twee getallen met elkaar vermenigvuldigt die allebei het resultaat zijn van een optelling. Dat betekent dat dertien geschreven kan worden als de som van tien en drie, terwijl zevenentwintig als de som van twintig en 7 geschreven kan worden. In figuur 1 kun je ook zeggen dat het oppervlak van de hele rechthoek gelijk is aan de som van het groene stuk, het gele stuk, het blauwe stuk en het rode deel. In formulevorm:

{\ce {O_{rechthoek}\ =\ O_{groen}\ +\ O_{geel}\ +\ O_{blauw}\ +\ O_{rood}}}

Invullen geeft dan:

{\ce {O_{rechthoek}=\ 20\ \times \ 10\ +\ 20\ \times \ 3\ +\ 10\ \times \ 7\ +\ 3\ \times 7\ =\ 200\ +\ 60\ +\ 70\ +\ 21\ =\ 351}}

Algemene trend

Het is geen verrassing dat ook als je de berekening op een wat ingewikkelde manier doet, het antwoord gelijk blijft. In principe is de ingewikkelde weg eigenlijk hetzelfde als wanneer je de twee getallen onder elkaar schrijft en dan met elkaar vermenigvuldigt.

Als je naar de uitwerking in het tweede deel kijkt zie je dat er bij het vermenigvuldigen vier termen, vier getallen die je bij elkaar moet optellen, ontstaan zijn:

het product van de tientallen, ${\ce {10\ \times \ 20}}$
het product van de tientallen van het tweede getal met de eenheden van het eerste getal: ${\ce {20\ \times \ 3}}$
het product van de tientallen van het eerste getal met de eenheden van het tweede getal: ${\ce {10\ \times \ 7}}$
het product van de eenheden, ${\ce {3\ \times \ 7}}$

Dit is wat een wiskundige een "gewoon product" noemt.

Gewoon product

Rekenen met letters

Ook als je de vermenigvuldiging in een wiskundige vorm weergeeft, met symbolen in plaats van getallen, ontstaan er vier termen die bij elkaar opgeteld moeten worden. Hieronder zie je een figuur waarin dat is weergegeven. Opnieuw moet je het oppervlak van de grote rechthoek uitrekenen. Alleen je kunt het nu niet op de manier van "niet moeilijk doen" uitvoeren.

Fig. 2

met letters

In figuur 2 geldt opnieuw dat het oppervlak van de hele rechthoek gelijk is aan de som van het groene stuk, het gele stuk, het blauwe stuk en het rode deel. In formulevorm:

{\ce {O_{rechthoek}\ =\ O_{groen}\ +\ O_{geel}\ +\ O_{blauw}\ +\ O_{rood}}}

Invullen geeft dan:

{\ce {O_{rechthoek}=\ a\ \times \ c\ +\ a\ \times \ d\ +\ c\ \times \ b\ +\ b\ \times d}}

of, genoteerd op de manier van de wiskunde, waarbij vermenigvuldigingstekens niet geschreven worden:

{\ce {O_{rechthoek}=\ ac\ +\ ad\ +\ cb\ +\ bd}}

Meer wiskundig met getallen

    37
x   89
——————

Op de lagere school heb je geleerd hoe zo'n vermenigvuldiging moet aanpakken. Je noteert de getallen onder elkaar, zet er een streep onder en voor het tweede een maalteken en dan ga je cijfer voor cijfer vermenigvuldigen. De eerste vermenigvuldiging is dan $9\times 7=63$ , 3 opschrijven, 6 onthouden.

Om de overeenkomst met het werken met symbolen duidelijk te maken, noteer je de 63 gewoon, en komt het resultaat van elke volgende vermenigvuldiging op een volgende regel te staan.

    37      
x   89      
——————  ————
   63

In de eerste stap vermenigvuldig je het laatste cijfer van het onderste getal met het laatste cijfer van het bovenste getal. Dat wil dus zeggen:

9\times 7=63

.

Stap 1

    37      
x   89      
——————  ————
   63      
  270   333

In de tweede stap vermenigvuldig je het laatste cijfer van het onderste getal met het op een na laatste cijfer van het bovenste getal. Dat wil dus zeggen:

9\times 3=27

. Eigenlijk heeft de "3" niet de waarde drie, maar de waarde dertig. Om goed uit te komen bij het noteren voor de optelling moet je daar wel rekening mee houden. Je noteert nu "270". Om aan te geven dat deze manier van rekenen eigenlijk precies hetzelfde is als de manier die je op de lagere school geleerd hebt is het resultaat van de vermenigvuldigingen voor het laatste cijfer in de meest rechtse kolom aangegeven.

stap 2

Als het bovenste getal nog meer cijfers bevat herheel je stap 2 voor elk van de meer naar voren in het bovenste getal voorkomende cijfers.

Stap 3

    37      
x   89      
——————  ————
   63      
  270   333
  560

Hiermee zijn de acties met het laatste cijfer van het onderste getal klaar. Nu komt het op een na laatste cijfer aan de beurt. Je zegt wel: het op een na laatste cijfer is een acht, maar de waarde van deze acht is eigenlijk tachtig. Dit betekent dat als de zegt

8\times 7=56>

je eigenlijk bedoeld:

80\times 7=560

Stap 4

    37      
x   89      
——————  ————
   63      
  270   333
  560      
2400  2960

De laatste stap (in deze vermenigvuldiging) is beide op een na laatste cijfers met elkaar vermenigvuldigen, maar wel met in je achterhoofd dan het niet

8\times 3=24

, maar eigenlijk

80\times 30=2400

voorstelt. Om de overeenkomst met de lagere school manier te laten zien is in de rechter kolom weer het resultaat aangegeven zoals je dat vindt via de 4 opschrijven, 2 onthouden manier.

Stap 5

    37      
x   89      
——————  ————
   63      
  270   333
  560      
+ 2400  2960
——————  ————
 3293  3293

De allerlaatste stap is het optellen van de verschillende producten. Uiteraard maakt het niet uit hoe je de berekening precies hebt uitgevoerd. in beide gevallen is de uitkomst hetzelfde. Als je nu nagaat wat je precies gedaan hebt, dan kun je dat samenvatten als:

bereken het product van de laatste van het tweede getal en de laatste van het eerste getal
bereken het product van de laatste van het tweede getal en de eerste van het eerste getal
bereken het product van de eerste van het tweede getal en de tweede van het eerste getal
bereken het product van de eerste van het tweede getal en de eerste van het eerste getal
de uitkomste van de vier voorgaande sommen heb je bij elkaar opgeteld.

Stap 6

Voorbeeld met letters

Voer je de berekening uit met symbolen. letters, dan wordt meestal een andere volgorde aangehouden. Bij optellen maakt de volgorde waarin je de verschillende termen (getallen) plaatst niet uit. Ook bij vermenigvuldigen maakt dat niet uit. Meestal worden in de wiskunde de verschillende producten geordend volgens:

bereken het product van de eerste van het eerste getal en de eerste van het tweede getal
bereken het product van de eerste van het eerste getal en de tweede van het tweede getal
bereken het product van de tweede van het eerste getal en de eerste van het tweede getal
bereken het product van de tweede van het eerste getal en de tweede van het tweede getal

Wiskundige volgorde

(a + b)
x   (c + d)
———————————
ac
ad
bc
+        bd
———————————
ac+ad+bc+bd

Hiernaast zie je de uitwerking in symbolen van de vermenigvuldiging die hierboven is getallen is uitgewerkt. De wiskundige volgorde is aangehouden. Als je de volgende waarden invult komt er dezelfde som te staan:

a = 30
b = 7
c = 80
d = 9

Netjes uitwerken geeft uiteraard weer dezelfde uitkomst.
Deze uitwerking laat duidelijk zien wat er gebeurt als je het product uitrekent van twee tweetermen. Een tweeterm is in de wiskunde de som van twee getallen of symbolen. Je krijgt vier termen die je bij elkaar moet tellen.

Bij een gewoon product ontstaan vier termen

Bij een merkwaardig product ontstaan minder dan 4 termen

Conclusie