Analyse/Inleiding in Integratie

Nota bene: aan dit artikel wordt nog hard gewerkt.

Riemann-sommen

$f(x)=x^{2}$ op het interval $[0,3]$ onderverdeeld in 5 rechthoeken.

Om de oppervlakte onder de grafiek van een continue functie f(x) op het interval [a,b] te benaderen, verdelen we het interval in n stukjes met breedte $\Delta x$ en bepalen de oppervlakte van de rechthoeken boven deze stukjes, waarvan de "middens juist op de grafiek vallen". De hoogte van de k-de rechthoek wordt dan gegeven door $f({\tfrac {1}{2}}\Delta x+(k-1)\Delta x)$, zodat de oppervlakte van deze rechthoek gelijk is aan:

$O_{k}=f({\tfrac {1}{2}}\Delta x+(k-1)\Delta x)\cdot \Delta x.$

De oppervlakte O onder de grafiek wordt dan benaderd door:

$O\approx \sum _{k=1}^{n}O_{k}=\sum _{k=1}^{n}f({\tfrac {1}{2}}\Delta x+(k-1)\Delta x)\cdot \Delta x$

Het spreekt voor zich dat een grotere n, en dus een kleinere $\Delta x$ een nauwkeurigere benadering oplevert.

Voorbeeld

We willen de oppervlakte tussen de grafiek van $f(x)=x^{2}$ en de x-as benaderen op het interval (0,3). We kiezen $n=30$, dus $\Delta x={\tfrac {1}{10}}$. De hoogte van de k-de rechthoek is dan

$f({\tfrac {1}{2}}\Delta x+(k-1)\Delta x)=f({\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{10}}+(k-1){\tfrac {1}{10}})=({\tfrac {1}{20}}+(k-1){\tfrac {1}{10}})^{2}.$

De benadering voor de oppervlakte wordt dan:

$O\approx \sum _{k=1}^{30}f({\tfrac {1}{2}}\Delta x+(k-1)\Delta x)\Delta x=\sum _{k=1}^{30}({\tfrac {1}{20}}+(k-1){\tfrac {1}{10}})^{2}{\tfrac {1}{10}}=8{,}9975.$

Vergelijk dit met de werkelijke waarde 9.

Wanneer we de figuur in 300 rechthoekjes, dus met $\Delta x={\tfrac {1}{100}}$, krijgen we een betere benadering, namelijk $O\approx 8{,}999975.$

Integralen

In het voorbeeld hebben we gezien dat we een betere benadering verkrijgen naarmate we $\Delta x$ dichter bij 0 kiezen. Nemen we de limiet voor $\Delta x$ naar 0, dan spreken we over een integraal:

$\int _{a}^{b}f(x)\,{\textrm {d}}x=\lim _{\Delta x\to 0}\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k})\cdot \Delta x$

Deze integraal spreken we uit als: 'De integraal van a naar b over f(x) dx'.

Hoofdstelling van de Integraalrekening

De hoofdstelling van de integraalrekening geeft een verband tussen de primitieven van een functie en de integraal:

Zij $f:[a,b]\mapsto \mathbb {R}$ continu en $F'=f\,\!$, dan geldt:

$\int _{a}^{b}f(x)\,{\textrm {d}}x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

Dit verband wordt ook wel geschreven als:

$f(b)=f(a)+\int _{a}^{b}f'(x)\,{\textrm {d}}x$