Analyse/Continuïteit

In de wiskunde wordt een functie continu genoemd als haar grafiek geen sprongen vertoont. Dat wil zeggen, dat voor ieder paar originelen die dicht bij elkaar in de buurt liggen, de beelden ook dicht bij elkaar in de buurt liggen.

Veel bekende functies, zoals $x\mapsto 3x^{},\ x\mapsto x^{2}$, de sinus en de cosinus zijn continu. Ook geldt dat de som, het verschil en het product van twee continue functies continu zijn.

We kunnen het begrip continuïteit op verschillende manieren duidelijk maken.

Grafisch

Een functie f is continu in het punt a van het domein van f als de functie geen sprongen maakt in a. Dat houdt in dat we de grafiek van f kunnen tekenen zonder de pen van het papier te moeten tillen.

Analytisch

Definitie

Een functie $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ heet continu in het punt a, als:

er voor elke ε > 0 een δ > 0 is zodanig dat voor alle punten x waarvoor $|x-a|<\delta$, die dus bij a in de buurt liggen, geldt dat $|f(x)-f(a)|<\epsilon$, wat inhoudt dat ook de beelden bij elkaar in de buurt liggen.

In symbolen:

$\forall \;\epsilon >0\ \exists \;\delta >0\ \forall \;x\in \mathbb {R} :|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon$.

Een functie heet continu als hij continu is in elk punt van het domein.