Krachten

Alles in de mechanica draait om krachten. We willen immers dat constructies stabiel blijven. Dat wil zeggen dat alle krachten in evenwicht zijn. Als alle krachten in evenwicht zijn, dan gebeurt er niks, dus is het stabiel.

De aard van krachten

Eigenlijk is een kracht een heel lastig begrip om precies te beschrijven. Aan de andere kant maken we voortdurend kennis met krachten. We kunnen allemaal wel een beschrijving geven van wat een kracht is.

kracht waarnemen
Een kracht laat zich niet gemakkelijk zien. Je kunt de aanwezigheid van een kracht zien aan 2 verschijnselen:

vervorming
Alle voorwerpen vervormen als je ertegen duwt. Als ik tegen een opgeblazen ballon duw, dan deukt hij in. Maar als ik tegen een lantarenpaal leun, dan lijkt die helemaal niet te vervormen. Maar dat is een misverstand. Zelfs een betonnen brug deukt een heel klein beetje in, als je eroverheen rijdt. Ook al is dat bijna niet waar te nemen.
beweging
Als er een kozijn aan de kabel van een kraan hangt, dan kun je er tegen duwen en hij komt in beweging. Als de muren van een huis niet sterk genoeg meer zijn, dan zullen ze bezwijken (ze komen in beweging).

Een kracht is een natuurkundige grootheid (iets dat je kunt meten). Je hebt wel meer grootheden gezien inmiddels: bijvoorbeeld temperatuur, inhoud en massa. Die grootheden hebben alleen een grootte. Maar als je wilt aangeven hoe een kracht werkt, dan zul je ook moeten aangeven waar en waarheen hij werkt.

kenmerken van kracht
Een kracht heeft 3 kenmerken:

een grootte
Hoeveel kracht wordt uitgeoefend?
een richting
Waarheen is de kracht gericht?
een werklijn
Waar werkt de kracht?

eenheid van kracht
De eenheid van kracht is de Newton, afgekort N.

Massa en gewicht

In de natuurkunde bedoelen we met de begrippen massa en gewicht verschillende dingen.

De 'massa' van een voorwerp is een maat voor hoeveel materie er in het voorwerp zit. We drukken de 'massa' uit in kilogram (of gram) afgekort kg (of g).

Met het 'gewicht' bedoelen we de kracht waarmee de aarde trekt aan een voorwerp. We drukken een kracht uit in newton. Gewicht drukken we dus uit in newton.

Toelichting: massa en gewicht

Een betonnen bal kan bijvoorbeeld een massa hebben van 100 kg en een appel bijvoorbeeld 100 g.

Veel mensen zeggen: "De betonnen bal heeft een 'gewicht' van 100 kg." Dat mogen we volgens de natuurkunde niet zeggen.

We hadden moeten zeggen: "De betonnen bal heeft een gewicht van (100*9,81)N." Want gewicht is een kracht.

Toelichting: waarom onderscheid tussen massa en gewicht?

Waarom wordt in de natuurkunde onderscheid gemaakt tussen massa en gewicht? Dat is toch alleen maar verwarrend? Dat komt met name doordat een grote massa meer gevolgen heeft dan alleen een groter gewicht.

Als je die betonnen bal van 100 kg in beweging wil brengen, dan kost het veel kracht om hem een bepaalde snelheid te geven. Het kost ook weer veel kracht om hem stil te laten liggen, maar voor een tafeltennisballetje hoef je bijna geen moeite te doen om het die snelheid te geven.

Als je het tafeltennisballetje met effect wegslaat, dan maakt het een bocht door de lucht. Als je die betonnen bal diezelfde bocht wil laten maken, dan heb je veel meer kracht nodig.

Gewicht (kracht) en massa hebben dus veel met elkaar te maken, maar het zijn andere begrippen. De massa zegt iets over de materie waaruit een voorwerp bestaat. De kracht zegt iets over de invloed die je op een voorwerp kunt uitoefenen. Je kunt het vervormen of verplaatsten.

Zwaartekracht

Gewicht ontstaat door de zwaartekracht. In de gevallen waar wij mee te maken hebben, gaan we ervan uit dat het gewicht en de zwaartekracht aan elkaar gelijk zijn.

We rekenen het gewicht (F_G) als volgt uit:

F_G = m • g

F_G:	gewicht (zwaartekracht)
m:	massa
g:	zwaartekrachtfactor (gravitatie)

Toelichting: zwaartekracht

Alle voorwerpen worden aangetrokken door de aarde. Het ene voorwerp wat sterker dan het andere. De betonnen bal van 100 kg wordt sterker naar de aarde getrokken dan de appel van 100 g. Als de massa 1000 keer zo groot wordt, dan wordt het gewicht ook 1000 keer zo groot.

De zwaartekracht op een voorwerp blijkt niet overal op aarde precies hetzelfde te zijn. De verschillen zijn echter klein, dus we merken er niets van.

In onze omgeving trekt de aarde een massa elke 1 kg met een kracht 9,81 N naar het beneden. Daar zit dus een vermenigvuldigingsfactor van 9,81 tussen. Deze zwaartekrachtfactor bepaalt met hoeveel kracht een voorwerp naar beneden wordt getrokken, gegeven de massa. De zwaartekrachtfactor heeft de letter g (van 'gravitatie') gekregen.

In de praktijk wordt heel vaak gerekend met g = 10 N/kg. Dat wil dus zeggen dat elke kilogram met 10 N naar de aarde wordt getrokken. Dat is in de meeste gevallen nauwkeurig genoeg.

Soms wordt ook een andere eenheid gebruikt: g = 10 m/s2. Dat is hetzelfde, maar dan anders geschreven. Het heeft te maken met situaties waarin voorwerpen vrij in beweging komen. Daar gaan we hier niet verder op in. Kortom:

10 m/s² = 10 N/kg.

Toelichting: gewicht berekenen

We nemen bijvoorbeeld een appel van 100 gram (= 0,1 kg). Wat is het gewicht van deze appel? Ga uit van g = 10 N/kg.

Is dat een rare vraag? Nee, want we vragen naar het gewicht. Dan bedoelen we de zwaartekracht die op de bal werkt (in N), dus niet de massa (in kg).

We mogen ervan uit gaan dat elke kilogram 10 N aan gewicht oplevert, want we werken met g = 10 N/kg.

De appel heeft een massa van 100 g = 0,1 kg.

Dan berekenen we het gewicht van de appel als volgt:

0,1 kg • 10 N/kg = 1 N

Je kunt het ook netjes met de formule doen. Dan hoort er hetzelfde uit te komen. Dat ziet er als volgt uit:

F_G	= m • g
	= 0,1 kg • 10 N/kg
	= 1 N

Let op: Bij deze berekening moet de massa altijd in kilogram worden uitgedrukt (en niet in gram).

Het gewicht van de betonnen kogel van 100 kg, kunnen we dan ook uitrekenen:

Oefening 1: massa en gewicht

F_G	= m • g
	= 100 kg • 10 N/kg
	= 1000 N
	= 1 kN

Krachten tekenen

Als we ons een voorstelling willen maken van de werking van krachten, dan tekenen we krachten gewoonlijk als een pijl. Want ook een pijl heeft een grootte, een richting en een aangrijpingspunt.

De grootte van de kracht is de lengte van de pijl
De richting van de kracht is de richting van de pijl
Het aangrijpingspunt is het begin van de pijl

Toelichting: krachten tekenen

Je kunt een kracht die werkt in een tekening weergeven. Als er bijvoorbeeld aan een touw wordt getrokken, dan werkt er een kracht in de richting van het touw.

Daarvoor moeten we een afspraak maken over de grootte van de pijlen. We spreken bijvoorbeeld af dat elke centimeter overeenkomt met 10 N. We schrijven:

1 cm ↔ 10 N

Laten we een kijken naar een touw dat over een katrol loopt naar een gewicht toe.

Hier werkt een kracht van 10 N langs het touw, want de pijl is 1 cm lang en de krachtenschaal is 1 cm ↔ 10 N.

Toelichting: verplaatsten langs de werklijn

Het maakt nu niet uit waar je precies aan het touw trekt. Langs de werklijn van de kracht mag je hem verplaatsten. Met andere woorden: in onderstaande tekening is het krachtenspel gelijk gebleven.

Een ander voorbeeld bestaat uit onderstaande balken die op 2 muurtjes liggen.

De belasting van de balk is gelijk, of de kracht nu van boven of van onderen komt. Je mag de kracht langs de werklijn verplaatsten.

Krachten samenstellen

Als er meerdere krachten werken, dan mag je die krachten bij elkaar optellen om de gezamenlijke, resulterende kracht te bepalen.

Zo lang die krachten langs dezelfde werklijn lopen, is het optellen ervan gelijk aan gewoon optellen. Krachten naar rechts noemen we positief, krachten naar links negatief.

Toelichting: krachten langs dezelfde werklijn

Zie onderstaand voorbeeld:

De resulterende kracht F_r is hier:

F_r = 400 – 200 – 300 = -100N

Toelichting: krachten dwars op elkaar

Als krachten dwars op elkaar staan, dan mag je ze niet zonder meer bij elkaar tellen. Wat er wel gebeurt, kun je het beste vergelijken met een rivier die je probeert over te varen.

Stel dat de rivier stroomt met 5 km/uur zoals in onderstaande tekening. En stel dat je dwars op de rivier naar de overkant vaart met 5 km/uur. Dan zie je vast wel in dat je niet precies aan de overkant aankomt, maar ergens schuin naar voren.

Je kunt nu zeggen dat je voor elke meter die je vooruit gaat, je ook een meter naar rechts gaat. Je gaat dus onder 45° schuin rechts naar voren.

Als je nu wil weten met welke snelheid je dan gaat, dan gebruik je de eigenschappen van een rechthoekige driehoek van 45°. De schuine zijde is dan √2 maal de rechte zijde.

5 × √2 = 5 × 1,414 = 7,07 km/uur

Het optellen van krachten werkt op dezelfde manier. Als er een kracht werkt van 300 N verticaal en een kracht van 400 N horizon¬taal, dan kunnen we daar het volgende plaatje bij tekenen.

Ook nu weer, zien we een rechthoekige driehoek, waarvan we de rechte zijden kennen. Met behulp van de stelling van Pythagoras kunnen we nu uitrekenen hoe groot de schuine zijde is.

F_R²	= 300² + 400²
Dus:
F_R	= ${\sqrt {90000+160000}}$
	= 500 N

Toelichting: gevorkte krachten

In de praktijk zie je ook vaak dat een last wordt gedragen aan 2 kabels. In die kabels werkt dan dezelfde kracht. Kijk bijvoorbeeld naar onderstaande figuur.

De stalen balk trekt via de 2 gevorkte kabels aan de hoofd¬kabel. Met welke kracht trekt hij nu aan de hoofdkabel? Om dat zichtbaar te maken, moeten we de krachten F₁ en F₂ bij elkaar optellen door ze bij wijze van spreken 'kop aan staart' te leggen, zoals in onderstaande figuur.

Zo ontstaat de resulterende kracht F_r.

De kracht F_r komt dus overeen met het gewicht (de zwaarte¬kracht) van de stalen balk. We kunnen nu dus ook nagaan hoe groot F₁ en F₂ moeten zijn bij een bepaald gewicht van de balk.

De grootte van F₁ en F₂ is afhankelijk van de hoek die de 2 kabels maken. In onderstaande figuur is weergegeven hoe groot F1 en F₂ bij verschillende hoeken worden. We gaan ervan uit dat de last steeds 1000 N is.

Als de kabels helemaal geen hoek maken (ze lopen parallel), dan wordt de 500 N verdeeld over de beide kabels. Vaak is deze constructie echter onpraktisch, want het verschuift het ophangprobleem naar de lat erboven.

Als de hoek groter wordt dan 60°, dan worden de krachten in de gevorkte kabels groter dan in de hoofdkabel. Dat is gevaarlijk.

Daarom mag de hoek met de verticaal nooit groter zijn dan 60°. Veilig is een hoek van 45°.

Krachten ontleden

Als je krachten kunt optellen door van 2 krachten 1 kracht te maken, dan moet het ook mogelijk zijn om van 1 kracht weer terug 2 krachten te maken.

Toelichting: ontleden in horizontaal en verticaal

Dat is vooral handig om na te gaan hoeveel van een kracht horizontaal werkt en hoeveel verticaal.

Stel dat er iemand een touw heeft verbonden aan de bovenkant van een steiger om te testen of hij wel een beetje stevig is.

Welke deel van deze kracht trekt nu horizontaal aan de steiger en welke deel van de kracht trekt de steiger verticaal naar beneden?

Daarvoor tekenen we horizontale en verticale hulplijnen.

Langs die hulplijnen zullen de horizontale kracht F_h en de verticale kracht F_v werken. Zie onderstaande tekening.

Alleen de kracht F_h doet de steiger kantelen. F_v doet daaraan niet mee.

Als je vlak bij de steiger staat, dan zul je dus heel hard moeten trekken om F_h groot te maken. Sta je veel verder weg, zoals in het voorbeeld, dan kost dat veel minder kracht.

Krachtenbalans

Wie een constructie maakt in de bouw, wil dat hij stevig blijft staan. Dat wil zeggen dat de constructie blijft staan, als je er een kracht op uitoefent. Een gebouw moet altijd in rust zijn.

Rust houdt in: geen beweging. Geen beweging krijg je allen maar voor elkaar als alle krachten in evenwicht zijn. De kracht van links moet even groot zijn als de kracht van rechts en de kracht van boven moet even groot zijn als de kracht van beneden.

Toelichting: krachtenbalans

Als je op de grond staat, dan ga je ervan uit dat je er niet plotseling doorheen zakt. De krachten van boven en beneden zijn gelijk.

Jij hebt een gewicht en duwt op de grond. De grond duwt terug omhoog. Die kracht zijn even groot. Zie onderstaande 2 figuren.

In elk gebouw geldt dat feitelijk ook. Laten we eens kijken naar onderstaande tekening waarin een dak op een muur rust.

Stel nu eens dat de massa van dat dak in totaal 500 kg is. Dan mogen we ervan uit gaan dat het gewicht 5000 N is. De muren zullen nu dus met elk 2500 N moeten terugduwen om alles in rust te houden.

Je kunt steeds een rekensom van alle krachten. Daarbij zet je alle naar beneden gerichte krachten links van het '='-teken. En alle naar boven gerichte krachten rechts. Dat ziet er als volgt uit:

5000 N = 2500 N + 2500 N

Als er dan vervolgens iemand van 100 kg (dus 1000 N) over het dak gaat lopen, dan ziet de som er als volgt uit:

5000 N + 1000 N = 3000 N + 3000 N

Zo kun je nagaan dat de muren nu 3000 N moeten kunnen dragen.