Stel dat we een groep
hebben en een deelgroep
, we kunnen dan de verzameling van de (linker) nevenklassen van
bekijken, we noteren dit
. We geven een voorbeeld:
Neem
, dan vinden we de volgende verschillende verzamelingen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&H_{1}=\{1,a^{2}\}\\G/H_{1}&=\{H_{1},a\circ H_{1},b\circ H_{1},ab\circ H_{1}\}\\&H_{2}=\{1,b\}\\G/H_{2}&=\{H_{2},a\circ H_{2},a^{2}\circ H_{2},a^{3}\circ H_{2}\}\\&H_{3}=\{1,a^{2},b,a^{2}b\}\\G/H_{3}&=\{H_{3},a\circ H_{3}\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a078762c8ea8e77108c161dce4650edd043329)
Stel nu dat we op deze verzamelingen een nieuwe bewerking kunnen definiëren zodat we de verzamelingen als groepen kunnen zien. We moeten dus een bewerking
vinden. Het ligt voor de hand dat we de bewerking
willen gebruiken. Als we dit willen definiëren, dan moeten we zorgen dat het goed gedefinieerd is. De bewerking
gebeurt namelijk tussen twee nevenklassen maar het uitwerken van die bewerking doe je met twee representanten van die nevenklassen, zou het niet kunnen zijn dat we een ander resultaat bekomen als we andere representanten nemen? We kijken naar een voorbeeld:
Neem het voorbeeld van hierboven met
en doe de volgende berekeningen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(a\circ H_{2}){\overline {\circ }}(a^{3}\circ H_{2})&=(a\circ a^{3})\circ H_{2}&=H_{2}\\(ab\circ H_{2}){\overline {\circ }}(a^{3}\circ H_{2})&=(ab\circ a^{3})\circ H_{2}&=a^{2}\circ H_{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5552719ca166bc4d3ae8ca706263e933c3c2482b)
We zien dus dat, hoewel
en
gelijk zijn, hun product niet gelijk is. We kunnen dus niet zomaar definiëren wat we willen definiëren. De volgende vraag die we ons dan stellen is: Wanneer is de bewerking
onafhankelijk van de representant?
Wat moet gelden om een goede definitie te krijgen? Stel dat
(dus is
) en
(dus is
), dan moet
![{\displaystyle (g_{1}\star g_{2})\star H=(g'_{1}\star g'_{2})\star H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35f31ed2a58a310b4715d5c2a487dad6610e10b)
We zouden met andere woorden graag hebben dat
![{\displaystyle g'_{1}\star g'_{2}=g_{1}\star g_{2}\star h{\text{ voor een }}h\in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3783766e69db427bbd0dbe9f5a24b788e11d7801)
Als
abels is, dan geldt dit zeker want dan is
![{\displaystyle g'_{1}\star g'_{2}=g_{1}\star h_{1}\star g_{2}\star h_{2}=g_{1}\star g_{2}\star h_{1}\star h_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a20a08bf018840ed25889641633979c4d8880eb)
en dus is
.
We zien echter dat commutativiteit niet nodig is, het is voldoende als we
kunnen schrijven als
voor een zekere
want dan is
![{\displaystyle g'_{1}\star g'_{2}=g_{1}\star h_{1}\star g_{2}\star h_{2}=g_{1}\star g_{2}\star h'_{1}\star h_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875eb8c8ea8bd5b4a0672764226136b9d172577f)
en hebben we onze
gevonden.
Nog een andere manier van schrijven: het is voldoende dat
Stelling:
![{\displaystyle {\begin{aligned}H\triangleleft G\Leftrightarrow &{\text{(i) }}H{\text{ is een deelgroep van }}G\\&{\text{(ii) }}\forall h\in H,\forall g\in G:g\star h\star g^{-1}\in H\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a092251bd9f3bfe818cc8574f72d095cceff30)
Stelling:
Neem
een groep en
, dan geldt:
is een groep met
![{\displaystyle {\overline {\star }}:G/H\times G/H\to G/H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df396ea0b49096e1d1c0f8b86ae5635f874238d)
![{\displaystyle (g_{1}\star H,g_{2}\star H)\mapsto (g_{1}\star g_{2})\star H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9285e0981834dbfcac456ee3aaae4df09a9b501)
- Als
commutatief is, dan is ook
commutatief.
Terminologie:
noemen we de quotiëntgroep van
modulo
- Als
abels is, dan is iedere deelgroep een normaaldeler. We nemen bijvoorbeeld als groep
, dan is de deelgroep
![{\displaystyle 3\mathbb {Z} =\{\ldots ,-6,-3,0,3,6,\ldots \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b285e8fa374b2506cb5be0cc099f5155c0a7af)
een normaaldeler. De quotientgroep is dan
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbb {Z} }{3\mathbb {Z} }}&=\{0+3\mathbb {Z} ,1+3\mathbb {Z} ,2+3\mathbb {Z} \}\\&=\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}}\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe819a49d6610af3dbba6c7d1cf0fe6c20524395)
We zien dat
en dus hebben we in feite niets nieuws gevonden.
want
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}a\circ a^{2}&=a^{2}\circ a\\b\circ a^{2}&=a^{2}\circ b\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f19051c629f5bc8b313fb0624533ab145aed7d)
We hebben dan de quotientgroep
![{\displaystyle {\frac {D_{4}}{\{1,a^{2}\}}}=\left\{\{1,a^{2}\},a\circ \{1,a^{2}\},b\circ \{1,a^{2}\},ab\circ \{1,a^{2}\}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e46b67188a617ad43da6f4f22382b9085a6f1a)
We weten dat er slechts twee groepen van orde vier bestaan:
en
. Dan moet de gevonden groep dus een van die twee zijn. We zien inderdaad als we
![{\displaystyle {\begin{aligned}\{1,a^{2}\}={\overline {(0,0)}}\\a\circ \{1,a^{2}\}={\overline {(0,1)}}\\b\circ \{1,a^{2}\}={\overline {(1,0)}}\\ab\circ \{1,a^{2}\}={\overline {(1,1)}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1280ae1f198c84cf8b8daef1dfe9eb7a4357ab9)
stellen, dan zijn de groepen perfect isomorf. Dit is eenvoudig met de cayleytabel na te gaan.