Abstracte algebra/Normale deelgroepen en quotiëntgroepen

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Probleem[bewerken]

Stel dat we een groep hebben en een deelgroep , we kunnen dan de verzameling van de (linker) nevenklassen van bekijken, we noteren dit . We geven een voorbeeld:


Neem , dan vinden we de volgende verschillende verzamelingen:



Stel nu dat we op deze verzamelingen een nieuwe bewerking kunnen definiëren zodat we de verzamelingen als groepen kunnen zien. We moeten dus een bewerking vinden. Het ligt voor de hand dat we de bewerking willen gebruiken. Als we dit willen definiëren, dan moeten we zorgen dat het goed gedefinieerd is. De bewerking gebeurt namelijk tussen twee nevenklassen maar het uitwerken van die bewerking doe je met twee representanten van die nevenklassen, zou het niet kunnen zijn dat we een ander resultaat bekomen als we andere representanten nemen? We kijken naar een voorbeeld:


Neem het voorbeeld van hierboven met en doe de volgende berekeningen:



We zien dus dat, hoewel en gelijk zijn, hun product niet gelijk is. We kunnen dus niet zomaar definiëren wat we willen definiëren. De volgende vraag die we ons dan stellen is: Wanneer is de bewerking onafhankelijk van de representant?


Wat moet gelden om een goede definitie te krijgen? Stel dat (dus is ) en (dus is ), dan moet



We zouden met andere woorden graag hebben dat

Als abels is, dan geldt dit zeker want dan is

en dus is .


We zien echter dat commutativiteit niet nodig is, het is voldoende als we kunnen schrijven als voor een zekere want dan is

en hebben we onze gevonden.


Nog een andere manier van schrijven: het is voldoende dat

Normale deelgroep[bewerken]

Definitie:
Een deelgroep van een groep noemt men een normale deelgroep

of dus dat alle rechternevenklassen gelijk zijn aan de linkernevenklassen. We noteren dit met



Stelling:



Bewijs:
Stel dat , dan is door de definitie. Dus is waaruit meteen het te bewijzen volgt.

Nu moeten we nog de andere richting bewijzen: we moeten bewijzen dat

Neem een element , we weten dat

Dus is . Analoog kan je bewijzen dat en dus dat


Quotiëntgroep[bewerken]

Stelling:
Neem een groep en , dan geldt:

  1. is een groep met
  2. Als commutatief is, dan is ook commutatief.

Terminologie: noemen we de quotiëntgroep van modulo


Bewijs:
We bewijzen enkele eigenschappen van een groep. We weten uit de voorgaande studie dat goed gedefinieerd is.

  • Is de bewerking associatief?
  • Is er een neutraal element?
    Het element is dus het neutraal element.
  • Bestaat er altijd een invers element?
    Dus is


Voorbeelden[bewerken]

  • Als abels is, dan is iedere deelgroep een normaaldeler. We nemen bijvoorbeeld als groep , dan is de deelgroep

een normaaldeler. De quotientgroep is dan

We zien dat en dus hebben we in feite niets nieuws gevonden.


  • want

We hebben dan de quotientgroep

We weten dat er slechts twee groepen van orde vier bestaan: en . Dan moet de gevonden groep dus een van die twee zijn. We zien inderdaad als we

stellen, dan zijn de groepen perfect isomorf. Dit is eenvoudig met de cayleytabel na te gaan.

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.